gn="center">23. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.  

    Тангенсом острого  угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего 
     
     катета к прилежащему:  
     
     о 
     
     Примеры. 
     
     1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите: 
     
     а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а; 
     
     б) гипотенузу с и катет а, если даны катет ь и прилежащий к нему угол а (рис. 20). 
     
      
     
     2. Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 6 73 (рис. 21)? 
     
     Обозначим длину шеста через а, длину тени шеста через Ь, а угол, под которым на землю падает луч солнца, через а. 
     
      

24. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

 

    В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная  к основанию, является биссектрисой и высотой. 
     
     Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22). 
     
     Доказать: CD — биссектриса и высота. 
     
     Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ). 
     
     Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов: 
     
      
     
     Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. 
     
     Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения: 
     
     1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 
     
     2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 

25. Задача по теме «Подобие треугольников».

 
      

26. Задача по теме «Ромб. Квадрат».

 

    Докажите, что в ромб можно вписать окружность. 
     
     Дано: ABCD — ромб, О — точка пересечения диагоналей ромба. 
     
     Доказать: О — центр вписанной окружности. 
     
     Доказательство. Треугольники ABO, ADO, CBO и CDO — прямоугольные (так как ABCD — ромб) и равны по гипотенузе и катету. Следовательно, и высоты OF и ОЕ проведенные из вершин пря мых углов, равны. Значит, основания высот лежат на окружности с центром О. Так как высоты, проведенные из вершин прямых углов, перпендикулярны сторонам ромба, то окружность с центром О — точкой пересечения диагоналей ромба — и радиусом, равным расстоянию от точки О до сторон ромба, касается сторон ромба. Следовательно, в ромб можно вписать окружность. 
     
      

27. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

 

    Квадрат любой  стороны треугольника равен сумме  квадратов катетов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 
     
      
     
      
     
      

28. Окружность, вписанная в треугольник.

 

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она  касается всех его сторон. 
     
     [П] Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник. 
     
     Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. 
     
     Дано: АВС — данный треугольник; О — центр вписанной в него окружности; D, Е и F — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 27). 
     
     Доказать: О — точка пересечения биссектрис. 
     
     Доказательство. Прямоугольные треугольники AOD иАОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза ОА — общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух биссектрисах треугольника. 
     
     [А] Теорема об окружности, вписанной в треугольник. 
     
     В любой треугольник можно вписать окружность. 
     
      
     
     Дано: A ABC — данный треугольник, О — точка пересечения биссектрис, М, L и К — точки касания окружности со сторонами треугольника (рис. 28). 
     
     Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС. 
     
     Доказательство. Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 28). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то О К = OL = = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки K L M. Стороны треугольника ABC касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказана. 
     
     Замечание. Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. 

29. Задача по теме «Параллельные прямые».

 
      

30. Задача по теме «Теорема Пифагора».

 

    Докажите, что  если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то 
     
      

31. Теорема синусов. Пример ее применения для решения треугольников.

 

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 29): 
     
     Пример. 
     
     Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий основанию угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°.  
     
      

32. Окружность, описанная около треугольника.

 

    Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его  вершины. 
     
     [П] Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. 
     
     Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон. 
     
     Дано: АВС — данный треугольник; О — центр описанной около него окружности (рис. 30). 
     
     Доказать: О — точка пересечения серединных перпендикуляров. 
     
      
     
     Доказательство. Треугольник АОС равнобедренный: у него стороны О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. 
     
     Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 
     
     [А] Теорема об окружности, описанной около треугольника. 
     
     Около любого треугольника можно описать окружность. 
     
     Дано: АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31). 
     
     Доказать: О — центр окружности, вписанной в АВС. 
     
     Доказательство. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, тоОА = OB — ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC. 
     
     Замечание. Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.  

33. Задача по теме «Сумма углов треугольника».

 
      

34. Задача по теме «Трапеция».

 

    Докажите, что  отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований. 
     
      
     
      

35. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

 

    Построение (рис. 32). «Пусть а — большая из трех сторон. Возьмем произвольный луч  с началом С и проведем окружность радиуса а с центром в точке  С. 
     
      
     
     Точку пересечения луча и окружности обозначим В (постр. 1). Проведем еще одну окружность радиуса b с центром в точке С (постр. 2) и окружность радиуса С с центром в точке В (постр. 3). 
     
     Если а < b + с, то эти две окружности пересекаются в двух точках. Пусть А — одна из этих точек. Тогда по построению треугольник ABC имеет стороны заданной длины а, b, с. 
     
     Если а > b + с, то эти две окружности не пересекаются и задача решения не имеет. 
    

36. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

 
      
     
     Для доказательства достаточно  сравнить соответствующие координаты  векторов, стоящих в правой и левой частях равенства. Они равны, а векторы с соответственно равными координатами равны. 
     
     Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство 
     
      
     
     чения суммы двух векторов называется «правилом треугольника» сложения векторов. 
     
     Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма) 
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      

37. Задача по теме «Многоугольники».

 

    Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые? 
     
     Решение. Обозначим внешний угол многоугольника через а. По условию все внешние углы тупые, т. е. а > 90°. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, то а • п — 360°. Отсюда следует, что п не более трех. А так как п — целое, то п = 3. 
     
      

38. Умножение вектора на число. Свойство произведения вектора на число.

 
       
     
      
     
      
     
      
     
      

39. Задача по теме «Многоугольники».

 

    Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около этого квадрата. 
     
     Решение. Квадрат называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Из определения следует, что точка пересечения диагоналей квадрата совпадает с центром описанной около него окружности. Отсюда диаметр окружности совпадает с диагональю квадрата. Диагональ 
     
     квадрата 7 pi/2 см. Следовательно, и диаметр окружности равен 7 pi/2 см. 
     
      

40. Задача по теме «Свойства прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°».

 

    Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины. 
     
     Дано: ААВС — равносторонний треугольник, DC и BF — биссектрисы, О — точка пересечения биссектрис DC и BF. 
     
     Доказать: ВО = 2DO. 
     
     Доказательство. Биссектриса угла равностороннего треугольника является одновременно его медианой и высотой. Отсюда следует, что в треугольнике BDO Z BDO = = 90°, a Z DBO = 30°. Следовательно, треугольник BDO — прямоугольный, и один из его углов равен 30°. Отсюда ВО = 2DO (по свойству прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°). 
     
      
     
      

41. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

 
      

42. Неравенство треугольника.

 

    Если точки  А и В различны, то расстоянием  между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю. 
     
     [П] Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. 
     
      
     
     Доказательство. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы расстояний до двух других. 
     
     Допустим, что все точки различны и не лежат на одной прямой (рис. 46). Докажем, что АВ < АС + + ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному АВ < AD + BD. Так как AD < АС и BD < ВС, то АВ < АС + ВС. Теорема доказана. 
     
     Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. 
     
     [А] Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.