Ответы  по геометрии для 9 класса

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

 

    I. Две прямые, параллельные третьей* параллельны. 
     
     II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны  
     
     III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 
     
     IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. 
          
     
      
     
      

2. Решение треугольника по стороне и двум углам.

 

    Решить треугольник  по стороне и двум прилежащим к  ней углам — это значит при  заданных стороне и двум прилежащим к ней углам найти третий угол и две другие стороны. 
     
      
     
     Единственность решения вытекает из признака равенства треугольников: 
     
     Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

3. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

 
      

4. Задача по теме «Длина окружности».

 
      

5. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

 

    I. Если две  параллельные прямые пересечены  третьей прямой, то внутренние  накрест лежащие углы равны. 
     
     II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. 
     
     III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. 
     
      
     
     П. Найдите градусную меру угла КАВ, если ABC = 58°. 
     
     Решение. Угол КАВ образует пару внутренних односторонних углов с углом ABC при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому KAB + ABC = 180°, откуда KAB = = 180° - 58° = 122°. 
     
     III. Найдите градусную меру угла LBC, если KAB = 122°. 
     
     Решение. Угол LBC образует пару соответственных углов с углом КАВ при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому КАВ = LBC = 122°. 

6. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

 

    Решить треугольник  по двум сторонам и углу между ними — это значит при заданных двух сторонах и углу между ними найти  третью сторону и два других угла. 
     
      
     
     Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников: 
     
     если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

7. Задача по теме «Неравенство треугольника».

 

    Расстояния от точки А до точек В и С  равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой. 
     
     Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см. 
     
      
     
     Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой. 
     
     Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично. 
     
     Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 -I- BC; т. е. ВС > 11. Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11. Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой. 
     
     Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R. 
     
     Тогда ВС  
< 14 е. т. АВ АС 11,>     
     Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС. 
     
     Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать. 

8. Третий признак равенства треугольников (формулировка и пример).

 

    Если три стороны  одного треугольника соответственно равны  трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
     
     Пример. 
     
     По рисунку докажите равенство треугольников ВАС и DAC, если АВ = AD, ВС = DC (рис. 8). 
     
     В треугольниках ВАС и DAC АВ = AD, ВС = DC по условию, АС — общая сторона. Следовательно, BAC = DAC по трем сторонам. 
     
      
     
      

9. Теорема об углах, вписанных в окружность.

 

    Угол, вершина  которого лежит на окружности, а  стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. 
     
     [П] Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. 
     
     Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности. 
     
      
     
      
     
     Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 9, а). 
     
     Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы А и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать. 
     
     Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 9, б, в). 
     
     В случае, представленном на рисунке 9, б, 
     
      
     
     [А] Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 
     
     Дано: ABC — вписанный, О — центр окружности, АС соответствует ABC (рис. 10). 
     
      
     
      
     
      

10. Задача по теме «Площадь».

 

    Найдите площадь  ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см. 
     
     Решение. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то катеты каждого из этих треугольников равны 3 см и 4 см; 
     
      
     
      

11. Задача по теме «Трапеция».

 
      

12. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

 

    Примеры. 
     
     1. В треугольнике один из углов равен 29°, другой 91°. Найдите его третий угол. 
     
     Решение. Третий угол треугольника равен 
     
     180° - (29° + 91°) = 180° - 120° = 60°. 
     
     2. Найдите острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника. 
     
     Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° - 90° = 90°. Так как острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны, то каждый из них равен 90° : 2 = 45°. 
     
     3. Найдите углы равностороннего треугольника. 
     
     Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма углов равностороннего треугольника равна 180°. Так как в равностороннем треугольнике все углы равны, то каждый из них равен 180° : 3 = 60°. 

13. Решение треугольника по трем сторонам.

 

    Решить треугольник  по трем сторонам — это значит по трем заданным сторонам треугольника найти его углы. 
     
      
     
      
     
     Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников: 
     
     Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

14. Задача по теме «Средняя линия трапеции».

 
      

15. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

 

    Синусом острого  угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:  
     
     Примеры. 
     
     1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите: а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а; 
     
     б) катеты треугольника а и Ь если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 12). 
     
      
     
      
     
     2. На вершину горы идет канатная дорога длиной 1,2 км, составляющая угол 60° с высотой горы. Чему равна высота горы? 
     
     Решение. Обозначим длину канатной дороги через с, высоту горы через Л, а угол между канатной дорогой и высотой горы через (3 (рис. 13). 
     
     Дано: с = 1,2 км, р = 60°. 
     
     Найти: h. 
     
     Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому а = 30°. Отсюда 
     
      
     
      

16. Свойство углов равнобедренного треугольника.

 

    Треугольник называется равнобедренным, если у него две  стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. 
     
     [П] В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 
     
     Дано: ABC — равнобедренный треугольник, АВ — основание (рис. 14). 
     
     Доказать: угол А = угол В. 
     
     Доказательство. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства 
     
      

17. Задача по теме «Подобие треугольников».

 
      

18. Задача по теме «Параллелограмм».

 

    В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает  с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. 
     
      

19. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

 

    Косинусом острого  угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к  гипотенузе:  
     
     Примеры. 
     
     1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите: 
     
     а) гипотенузу с и катет а, если даны катет Ъ и прилежащий к нему угол а; 
     
     б) катеты треугольника а и Ь, если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 16). 
     
      
     
     2. Угол между лестницей эскалатора и полом зала равен 150°. Какова длина лестницы эскалатора, если подошва лестницы равна 117м? 
     
      

20. Признак равнобедренного треугольника.

 

    Треугольник называется равнобедренным, если у него две  стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. 
     
     [П] Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 
     
      
     
     Доказательство. Так как в треугольнике два угла равны, то равны и стороны, лежащие против этих углов. Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны). Итак, в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник — равнобедренный. 

21. Задача по теме «Подобие треугольников».

 
      
     
       

22. Задача по теме «Прямоугольник».

 

    Стороны прямоугольника равны 5 см и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите длины этих частей.