Определенный интеграл

     Из  определения центра тяжести следуют равенства m ∙ x_c = S_y и m ∙ у_с = S_x или γl ∙ х_c = S_y и γl ∙ у_с = S_x. Отсюда или .

 
 
 

     П. 7. Вычисление статистических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

 
     

     Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой    у = f(x) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b (рис. 5).

     Рис. 5

     Будем считать, что поверхностная плотность  пластинки постоянна            (γ = const). Тогда масса всей пластинки равна γ ∙ S, т.е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

     Тогда масса его равна γ ∙ у dх. Центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С отстоит от оси Ох на , а от сои Оу на х (приближенно; точнее на расстоянии ). Тогда для элементарных статистических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения и . Следовательно, .

     По  аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести  плоской фигуры (пластинки) через  С(х_с; у_с), что m ∙ x_c = S_y и m ∙ у_с = S_x. Отсюда и или и .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 5. Несобственные  интегралы

 

     Определенный  интеграл , где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.

     Определение. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции имеющей бесконечный разрыв.

 

     П. 1. Интеграл с бесконечным  промежутком интегрирования (несобственный  интеграл I рода)

 

     Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

     Таким образом, по определению  = .

     В этом случае говорят, что несобственный  интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

     Аналогично  определяется несобственный интеграл на промежутке :

      .

     Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами  определяется формулой , где с – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция f(x) ≥ 0 на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

     Пример: вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) ; 2) .

     Решение: 1) , интеграл сходится.

     2) , интеграл расходится, т.к. при а → ∞ предел не существует.

     В некоторых задачах нет необходимости  вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

     Приведем  без доказательства некоторые признаки сходимости.

Теорема 1 (признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции f(x) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ φ(x), то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла  .

 

Теорема 2. Если существует предел (f(x) › 0 и φ(х) › 0), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

 
 

     П. 2. Интеграл от разрывной  функции (несобственный  интеграл II рода)

 

     Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при x = b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .

     Таким образом, по определению, = .

     Если  предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

     Аналогично, если функция f(x) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают . Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой . В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

     В случае, когда f(x) › 0, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке x = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

     Сформулируем  признаки сходимости для несобственных  интегралов второго рода.

Теорема 3. Пусть на промежутке  [а; b) функции f(x) и φ(х) непрерывны, при     х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ f(x) ≤ φ(x). Из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .

 

Теорема 4. Пусть функции f(x) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке x = b терпят разрыв. Если существует предел , то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.