Определенный интеграл

Глава 6. Определенный интеграл 

§ 1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 

     Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], a ‹ b. Выполним следующие действия.

     1. С помощью точек x₀ = a, x₁, x₂, …, x_n = b (x₀ ‹ x₁ ‹ … ‹ x_n) разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁; x₂], …, [x_n-1; x_n].

     2. В каждом частичном отрезке  [x_i-1; x_i], i = 1, 2, …, n выберем произвольную точку c_i [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней.

     3. Умножим найденное значение функции f (c_i) на длину ∆x_i = x_i – x_i-1 соответствующего частичного отрезка: f (c_i) ∙ ∆x_i.

     4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

      . (1)

     Определение 1. Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции y = f (x) на отрезке [a; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i (i = 1, 2, …, n).

     5. Найдем предел интегральной суммы  (1), когда n → ∞ так, что λ  → 0.

     Определение 2. Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a; b] и обозначается . Таким образом, (2).

     Определение 3. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией,             f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a; b] – областью (отрезком) интегрирования.

     Определение 4. Функция y = f (x), для которой на отрезке [a; b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

     Сформулируем  теперь теорему существования определенного  интеграла.

Теорема 1 (Коши). Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то определенный интеграл существует.

 

     Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может  существовать и для некоторых разрывных функций, имеющих на нем конечное число точек разрыва.

     Укажем  некоторые свойства определенного  интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

     1. Определенный интеграл не зависит  от обозначения переменной интегрирования. Это следует из того, что интегральная сумма (1), а следовательно, и ее предел (2) не зависят от того, какой буквой обозначается аргумент данной функции.

     2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

     3. Для любого действительного числа c: .

 
 
 
 
 
 

     § 2. Геометрический и  физический смысл  определенного интеграла

 

     Площадь криволинейной трапеции

     Определение 1. Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция       y = f (x)≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x), снизу осью – Ox, сбоку – прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

     Найдем  площадь этой трапеции.

       
 
 
 
 
 

     Для этого отрезок [a; b] точками a = x₀, x₁, x₂, …,  b = x_n (x₀ ‹ x₁ ‹ … ‹ x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁; x₂], …, [x_n-1; x_n]. В каждом частичном отрезке [x_i-1; x_i] возьмем произвольную точку c_i и вычислим значение функции в ней, т.е. f (c_i).

     Умножим значение функции  f (c_i) на длину ∆x_i = x_i – x_i-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение f (c_i) ∙ ∆x_i равно площади прямоугольника с основанием ∆x_i и высотой f (c_i). Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции: . С уменьшением всех величин ∆x_i точность приближения криволинейной трапеции к ступенчатой фигуре и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел  S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max ∆x_i→0: , т.е. .

     Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

     В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

 

     Работа  переменной силы

     Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F (x), где х – абсцисса движущейся точки М.

     Найдем  работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а ‹ b). Для этого отрезок [a; b] точками a = x₀, x₁, x₂, …,  b = x_n (x₀ ‹ x₁ ‹ … ‹ x_n) разобьем на n частичных отрезков [x₀; x₁], [x₁; x₂], …,       [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка ∆x_i = x_i – x_i-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F (x) в произвольно выбранной точке                   x = c_i [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [x_i-1; x_i], равна произведению F (c_i) ∙∆x_i. (Как работа постоянной силы F (c_i) на участке [x_i-1; x_i].)

     Приближенное  значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть . (1)

     Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина ∆x_i. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю: .

     Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F (x), действующей на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a; b].

     В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     § 3. Вычисление определенного  интеграла

 

     П. 1. Основные свойства определенного интеграла

 

     Рассмотрим  основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию  интегрируемой на отрезке [a; b].

     1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a; b], то

      , т.е. постоянный множитель  можно выносить за знак определенного интеграла.

     2. Если функции f₁(x) и f₂(x)интегрируемые на [a; b], тогда интегрируема на [a; b] их сумма , т.е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

     3.

     4. Если функция f(x) интегрируема на [a; b] и а ‹ с ‹ b, то , т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла.

     5. «Теорема о среднем». Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], существует точка с [a; b] такая, что . Число называется средним значением функции f(x)    на   отрезке [a; b].

     6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a; b], где а ‹ b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b], то ≥ 0.

 

     П. 2. Формула Ньютона  – Лейбница

 

     Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла  является формула  Ньютона – Лейбница: .

     Применяется этот метод во всех случаях, когда  может быть найдена первообразная  функции F(x) для подынтегральной функции f(x).

     Пример: .

 

     П. 3. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

 

     Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка x = φ(t).

Теорема. Если: 1) функция x = φ(t) и ее производная x’ = φ’(t) непрерывны при t [α; β]; 2) множество значений функции x = φ(t) при t [α; β] является отрезок [a; b]; 3) φ(α) = а и φ(β) = b, то (1)

 

     Формула (1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

 
 

     Отметим, что:

     1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

     2) часто вместо подстановки x = φ(t) применяют постановку t = g(x);

     3) не следует забывать менять  пределы интегрирования при замене  переменных!

     Пример: вычислить .

     Решение: положим x = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если x = 0, то t = 0; если x = 2 , то . Поэтому

     

 

     П. 4. Интегрирование по частям

 

Теорема. Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то имеет место формула (2)

 
 

     Формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

     Пример: вычислить .

     Решение: положим   

     Применяя  формулу (2), получаем .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 <