Определенный интеграл

br>---
 

     § 4. Геометрические и  физические приложения определенного интеграла.

 

     П. 1. Вычисление площадей плоских фигур

 

     Прямоугольные координаты

     Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями y = f(x) ≥ 0, x = a,       x = b, y = 0 (рис. 1).       

       Рис. 1

     Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:                

     1. Возьмем произвольное x [a; b] и будем считать, что S = S(x).

     2. Дадим аргументу x приращение ∆x = dx (x + ∆x [a; b]). Функция          S = S(x) получит приращение ∆S, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

     Дифференциал  площади dS есть главная часть приращения ∆S при          ∆x → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y: dS = y dx.

     3. Интегрируя полученное равенство  в пределах от x = a до x = b, получаем .

     Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ox (f(x) ‹ 0), то ее площадь может быть найдена по формуле .

     Площадь фигуры, ограниченной кривыми  y = f₁(x) и y = f₂(x), прямыми    x = a и x= b (при условии f₂(x) ≥ f₁(x)) (рис. 2), можно найти по формуле

      .

     

     Рис. 2

     

 
 

     Рис. 3

     Если  плоская фигура имеет «сложную»  форму (рис. 3), то прямыми, параллельными  оси Oy, ее следует разбить на части, чтобы применить уже известные формулы.

     

     Если  криволинейная трапеция ограничена прямыми  y = c и y = d, осью Oy и непрерывной кривой x = φ(y) ≥ 0 (рис. 4), то ее площадь находится по формуле

     Рис. 4

     И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически ,

     Прямыми x = a и x = b и осью Ox, то площадь ее находится по формуле

      , где α и β определяются из равенства x(α) = a и x(β) = b.

 

     Полярные  координаты

     Найдем  площадь S криволинейного сектора, т.е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r(φ) и двумя лучами φ = α и φ = β        (α ‹ β), где r и φ – полярные координаты (рис. 5).

     1. Будем считать часть искомой  площади S как функцию угла φ, т.е.          S = S(φ), где α ≤ φ ≤ β (если φ = α, то S(α) = 0, если φ = β, то S(β) = S).

     2. Если текущий полярный угол  φ получит приращение ∆φ = dφ, то приращение площади ∆S равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.

     Дифференциал  dS представляет собой главную часть приращения ∆S при dφ → 0 и равен площади кругового сектора OAC (на рисунке она заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому .

     3. Интегрируя полученное равенство  в пределах от φ = α до φ = β, получим искомую площадь .

      

 
 
 
 
 
 
 

     П. 2. Вычисление длины  дуги плоской кривой

 

     Прямоугольные координаты

     Пусть в прямоугольных координатах  дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b.

     Определение. Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

     Если  функция y = f(x) и ее производная y′ = f′ (x) непрерывны на отрезке [a; b], то кривая АВ имеет длину равную .

     Если  уравнение кривой АВ задано в параметрической форме        α ≤ t ≤ β, где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными и x(α) = a, x(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле   (1).

     Полярные  координаты

     Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(φ),      α ≤ φ ≤ β. Предположим, что r(φ) и r′(φ) непрерывны на отрезке [a; b].

     Если  в равенствах x = r cos φ, y = r sin φ, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол φ, то кривую АВ можно задать параметрически . Тогда .

     Применяя  формулу (1), получаем .

 
 
 

     П. 3. Вычисление объема тела

 

     Вычисление  объема тела по известным площадям параллельных сечений

     Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox: S = S(x), a ≤ x ≤ b.

     1. Через произвольную точку x [a; b] проведем плоскость π, перпендикулярную оси Ox (рис. 1).Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости π. Будем считать, что на отрезке [a; x] величина v есть функция от x, т.е.             v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

     2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х + ∆х, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.

     3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до b: .

     Полученная  формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

     

     Рис. 1

 

     Объем тела вращения

     Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f(x) ≥ 0, отрезком a ≤ x ≤ b и прямыми x = a, x = b (рис. 2). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (x [a; b]), есть круг с радиусом y = f(x). Следовательно,       S(x) = πy².

     Применяя  формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем (1).

     

     Если  криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = φ(y) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с, у = d (с ‹ d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (1), равен .

     Рис. 2

 

     П. 4. Вычисление площади  поверхности вращения

 

     Пусть кривая АВ является графиком функции y = f(x) ≥ 0, где x [a; b], а функция y = f(x) и ее производная y′ = f′(x)непрерывны на этом отрезке.

     Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

 
 

     Выполним  следующие действия:

     1. Через произвольную точку x [a; b] проведем плоскость π, перпендикулярно оси Ох. Плоскость π пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом y = f(x) (рис. 3). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т.е. s = s(x)      (s(a) = 0, s(b) = S).

     2. Дадим аргументу х приращение ∆х = dx. Через точку х + dx [a; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s = s(x) получит приращение ∆s, изображенного на рисунке в виде «пояска».

     Найдем  дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, Образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у + dу. Площадь его боковой поверхности равна ds = π (y + y + dy) ∙ dl = 2πy dl + π dy dl. Отбрасывая произведение dy dl, получаем ds = 2πy dl, или, т.к. , то .

     3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем (1).

     Если  кривая задана параметрическими уравнениями  x = x(t) и  y = y(t),    t₁ ≤ t ≤ t₂, то формула (1) для площади поверхности вращения принимает вид .

 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 3

 
 

     П. 5. Работа переменной силы

 

     Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х =  b (а ‹ b), находится по формуле .

 

     П. 6. Вычисление статистических моментов и координат  центра тяжести плоской  кривой

 

     Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М₁(х₁; у₁), ..., М_n(x_n; y_n) соответственно с массами m₁, …, m_n.

     Определение 1. Статистическим моментом S_x системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояния этих точек от оси Ох): .

     Аналогично  определяется статистический момент S_y этой системы относительно оси Оу: .

     Если  массы распределены непрерывным  образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статистического  момента понадобится интегрирование.

     Пусть y = f(x) (а ≤ x ≤ b) – это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью γ (γ = const).

     Для произвольного x [a; b] на кривой АВ найдется точка с координатами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х; у). Тогда масса этого участка равна γ dl. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую на оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статистического момента («элементарный момент») будет равен  γ dl, т.е. dS_x = γ dl (рис. 4).

 

     Рис. 4

     Отсюда  следует, что статистический момент S_х кривой АВ относительно оси Ох равен .

     Аналогично  находим S_y: .

     Статистические  моменты S_х и S_y кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

     Определение 2. Центром тяжести материальной плоской кривой       y = f(x), x [a; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статистический момент этой точки относительно любой координаты оси будет равен статистическому моменту всей кривой y = f(x) относительно той же оси. Обозначим через С (х_с; у_с) центр тяжести кривой АВ.