Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Забайкальский  государственный гуманитарно-педагогический

университет им. Н.Г. Чернышевского» (ЗабГГПУ) 

Факультет физико-математический

Кафедра фундаментальной и прикладной математики,

 теории  и методики обучения математики 
 
 

Курсовая  работа

Тема: Методика обучения учащихся исследованию функций  с помощью производной 
 

Выполнила: студентка 141 группы

Просолова В. Ю.

Проверил: доцент кафедры 

ФиПМТиМОМ

к.п.н. Тонких Г.Д. 
 

Чита, 2010 г.

Оглавление

      Введение…………………………………………………………………..3

      §1. Методика обучения учащихся исследованию функций на монотонность и нахождение экстремумов……………………………………………...5

      §2. Применение общей схемы к  исследованию функций……………14

      §3. Типичные ошибки учащихся при исследовании функций………………………………………………………………………………19

      §4. План-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»…………………………………………………………......24

      Заключение………………………………………………………………26

      Список  используемой литературы…………………………………......27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Изучение  поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

     Понятие функции уходит своими корнями в  ту далекую эпоху, когда люди впервые  поняли, что окружающие их явления  взаимосвязаны. Развитие математики со времён Древнего Египта, Вавилона, Греции прошло не малый путь, меняясь и преобразовываясь.

      При изучении процессов реального мира (физических, химических, биологических, экономических и всевозможных других) мы постоянно встречаемся с характеризующими их величинами, меняющимися в течение  рассматриваемых процессов. При  этом часто бывает, что изменению  одной величины сопутствует и  изменение другой или даже, более  того, изменение одной величины является причиной изменения другой. Взаимосвязные изменения числовых характеристик рассматриваемых величин приводят к их функциональной зависимости в соответствующих математических моделях. Поэтому понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и ее приложениях.

     Школьный  курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах [5].

     Цель  изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 классах систематическое  изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного  значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для  изучения геометрии и физики.

Цель: рассмотреть  методические особенности обучения учащихся исследованию функций с помощью производной

      Задачи:

- рассмотреть  методику обучения учащихся исследованию функций на монотонность и нахождение экстремумов

- показать  применение общей схемы к   исследованию функций

- рассмотреть  типичные ошибки учащихся при исследовании функций

- показать  план-конспект урока по теме: «Применение производной к исследованию функций»

      Объект  исследования: процесс обучения курсу  «Алгебра и начала анализа».

      Предмет исследования: методика обучения учащихся исследованию функций.

      Методы  исследования: анализ научно-методической литературы; изучение нормативных документов. 
 
 
 
 

§1. Методика обучения учащихся исследованию функций с помощью производной на монотонность и нахождение экстремумов

     В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике раздел «Функции» включает следующие вопросы:

     Функции. Область определения и множество  значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

      Учащиеся  должны уметь:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
• строить графики изученных функций;
• описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
• решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;
• использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков;
• вычислять производные элементарных функций, используя справочные материалы;
• исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа [10].

      Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений – важнейший раздел темы «Производная и ее применение». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и др. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

      Приведем  тематическое планирование раздела: «Применения  производной» в соответствии с учебником Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. [8].

Тематическое  планирование

      Изучение  темы «Применение производной к  исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти  сведения следует повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение  производной, ее геометрический смысл, в связи с этим – понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельных прямых.

      В ходе решения задач ученикам понадобится  находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить нужно и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку в дальнейшем обучении будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися [7].

Признак возрастания (убывания) функции.

      Одно  из основных применений производной  в школьном курсе алгебры и  начал анализа − это исследование функций, в частности нахождение промежутков возрастания и убывания. Программой по математике сформулированы требования к усвоению этого материала − учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания (убывания) функций.

      Для подготовки к сознательному усвоению формулируемого в теме достаточного признака возрастания (убывания) функции (до его введения) полезно рассмотреть  учащимся геометрические иллюстрации, на которых показаны графики функций, имеющих разный характер изменения, а также касательные в точках, принадлежащих к промежуткам  возрастания и промежуткам убывания функций. Анализируя расположение касательных по отношению к оси абсцисс (угол наклона) и определяя тем самым знаки значений производной, учащиеся подводятся к самостоятельному формулированию требуемых признаков [1].

      Достаточный признак возрастания  функции. Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на .

      Достаточный признак убывания функции. Если в каждой точке интервала , то функция убывает на .

      Доказательство  этих признаков проводится на основании  формулы Лагранжа.

      Учащимся  необходимо разъяснить наглядный смысл  признаков, который приводится из физических рассуждений.

      Пусть движущаяся по оси ординат точка  в момент времени  имеет ординату . Тогда скорость этой точки в момент времени равна . Если в каждый момент времени из промежутка , то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если , то . Это означает, что функция возрастает на промежутке [2].

      Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции.

      Решение: найдем производную функции (заметим, что она существует для всех ):

.

Приравняем  производную к нулю: , откуда .

      При , следовательно, при , функция возрастает, а при , следовательно, при , функция убывает [3].

      После рассмотрения темы на возрастание (убывание) функции, вводится понятие критической точки или экстремумов функции.

Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.