Математика в современном мире

     Негосударственное образовательное учреждение  
высшего профессионального образования  
ИНСТИТУТ КОММУНИКАТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 
 
 
 
 
 
 

     Реферат

     Тема: «Математика в современном мире». 
 
 
 
 
 

Исполнитель: Павлова М.М. студентка 1 курса, специальность финансовый менеджмент, форма обучения заочная

  Проверил:  Муслакова Е.А. Преподаватель Гуманитарных и                            социальных дисциплин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Москва 2010

      План: 

1. Введение

2. Роль математики в современном мире. Основные этапы развития математики

3. Особенности математического стиля мышления

4. “Мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею”

5. Заключение

6. Список  литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Математика - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. "Замечательно, - пишет В.А. Успенский, - что хотя математическая модель создается человеческим разумом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реальности" Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.

Математика (греч. mathematike, от mathema - знание, наука) наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения. Современное понятие математики - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). У представителей науки начала 19 века, не являющихся математиками, можно найти такие общедоступные определения математики.

"Чистая  математика имеет своим объектом  пространственные формы и количественные  отношения действительного мира" (Ф. Энгельс).

"Математика - наука о величинах и количествах;  все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике. Математика  может быть чистой и прикладной. Математика делится на арифметику и геометрию; первая располагает цифрами, вторая - протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа" (В. Даль).

Современная математика насчитывает множество  математических теорий: математическая статистика и теория вероятности, математическое моделирование, численные методы, теория групп, теория чисел, векторная алгебра, теория множеств, аналитическая и  проективная геометрия, математический анализ и т.д.

Несмотря  на то, что математических теорий достаточно много и они, на первый взгляд, могут  и не иметь ничего общего, внутренняя эволюция математической науки упрочила единство ее различных частей и создала  центральное ядро. Существенным в  этой эволюции является систематизация отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют "аксиоматический метод". В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий, с помощью которых  образуются утверждения, называемые аксиомами.

Прочие  понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и  определений выводятся теоремы. Теория становится рекурсивно структурированной, ее можно представить в виде матрешки, в которой понятия и их свойства как бы являются вложенными друг в  друга. Каждая математическая теория является цепочкой высказываний, которые выводятся  друг из друга согласно правилам логики, т.е. объединяющим началом математики является "дедуктивное рассуждение". Развитие математической теории в таком  стиле - это первый шаг по направлению  к ее формализации. 

Роль  математики в современном  мире. Основные этапы  развития математики

Целью изучения математики является повышение  общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика  – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного  мира. Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики¹:

1) зарождение математики

2) элементарная математика

3) математика переменных величин

4) современная математика.

Начало  периода элементарной математики относят  к VI-V веку до нашей эры. К этому  времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции. В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как  буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в  стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге  Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники  привели к созданию методов, позволяющих  математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической  геометрии и создание дифференциального  и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем  понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа). На первый план выдвигается понятие  функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции  приводит к основным понятиям математического  анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому  времени относятся и появление  гениальной идеи Р. Декарта о методе координат. Создается аналитическая  геометрия, которая позволяет изучать  геометрические объекты методами алгебры  и анализа. С другой стороны метод  координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и  аналитических фактов².

Дальнейшее  развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения. Связь математики и естествознания приобретает все более сложные  формы. Возникают новые теории. Новые  теории возникают  нe

только  в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным  примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет  отнести ее к периоду современной  математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит  аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые  исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения  теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях  являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для  правильной постановки задачи, для  оценки выбора способа ее решения  необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких  друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение  может описывать процессы роста  населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция³.

Индукция  – метод исследования, в котором  общий вывод строится не основе частных  посылок.

Дедукция  – способ рассуждения, посредством  которого от общих посылок следует  заключение частного характера.

Математика  играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения  математики в различные отрасли  знаний заключается в том, что  она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и  более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной  математики с ее развитым логическими  и вычислительным аппаратом был  бы невозможен прогресс в различных  областях человеческой деятельности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Особенности математического  стиля мышления

Представляет  интерес характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы  – стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического  мышления, он выделяет четыре общие  для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в  других науках⁴.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает  и излагает принципиально новые  идеи. Какое величественное впечатление  производит, например, благородная  скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти  более яркий пример того, какое  глубокое воздействие может иметь  на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для  слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее  ставится под законное подозрение и  автоматически вызывает критическую  настороженность.