Математика в современном мире

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться  на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик  должен отчетливо помнить, в каком  случае и подслучае его мысль  сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных  перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет  в том, для какого родового понятия  он перечисляет составляющие его  видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто  наблюдаем в таких случаях  смешения и перескоки, приводящие к  путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал  перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода⁵.

Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий  и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые  понятия, которые надлежит рассмотреть  в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью  какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая  обозначение (например, II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго  рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую  числовую рубрику, всё излагаемое относится  только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая  нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в  той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она  и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и  полное уничтожение смысла данного  высказывания”.

Выделив основные черты математического  стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе  имеет диалектический характер, а  следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, –  писал Кант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”⁶.

Взаимодействие  конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и  философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли  отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре  и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно  малая”, “производная” и т.п.

                    “Мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею”

 Выдающегося российского математика академика Игоря Ростиславовича Шафаревича считал, что основная догма научной идеологии - это вера в математизацию. Она утверждает, что всё (или, по крайней мере, всё существенное) в природе может быть измерено, превращено в числа (или другие математические объекты), и что путем совершения над ними различных математических манипуляций можно предсказать и подчинить своей воле все явления природы и общества. Кант говорил, что каждая область сознания является наукой настолько, насколько в ней содержится математика. Пуанкаре писал, что окончательная, идеальная фаза развития любой научной концепции - это ее математизация. В некотором смысле можно сказать, что мы живем в математической цивилизации - и, может быть, умираем вместе с нею. Ввиду сказанного выше математику естественно проявить интерес к этим взаимосвязанным явлениям.

Научная идеология имеет сейчас уже длинную  историю. Еще Галилей говорил, что "книга науки написана на языке  геометрии" (геометрией тогда называли математику). Приблизительно в то же время (1605) Кеплер писал в письме своему другу: "Моя цель показать, что небесную машину нужно сравнивать не с божественным организмом, а  с часовым механизмом". Декарт сравнивал животное с машиной, а  столетие спустя Ламетри в книге "Человек-машина" распространил  этот принцип и на человека.

Однако  лишь во времена Ньютона механическая концепция мира полностью покорила себе умы. Ньютон и его последователи  называли его теорию "Системой Мира". Она вдохновляла не только его  современников, но и многие следующие  поколения. Казалось, что можно развить  полную картину природы на основе небольшого числа законов, из которых  все остальное может быть дедуцировано при помощи решения дифференциальных уравнений, разложения функций в  степенные ряды и других математических процедур.

Но больше всех был зачарован этой картиной сам Ньютон. Неслучайно свое главное  сочинение он назвал "Математические начала натуральной философии". В  конце его он прокламирует применимость тех же принципов к живым существам, чтобы и эта часть природы  была включена в его "Систему Мира". Он пишет: "Теперь следовало бы кое-что  добавить о некотором тончайшем  эфире, проникающем все сплошные тела и в них содержащемся, коего  силою... возбуждается всякое чувствование, заставляющее члены животных двигаться  по желанию, передаваясь именно колебаниями  этого эфира через тончайшие  нити нервов от внешних органов чувств мозгу и от мозга мускулам. Но это не может быть изложено кратко, к тому же нет и достаточного запаса опытов, коими законы действия этого  эфира были бы точно определены и  показаны". Очевидно, Ньютон имеет  в виду механическую теорию эфира  и дает понять, что лишь недостаток места и неполнота экспериментальной  базы мешают ему развить механическую теорию функционирования тел животных на базе эфира.

В то же время стали слышны и встревоженные  голоса. Задавались вопросом: остается ли в этой механической системе мира место для Бога? Можно было бы даже спросить - для чего-либо живого? Вселенная выглядела как гигантская машина, функционирующая исключительно  на основе механических законов. И опять  наиболее встревожен был сам Ньютон. Религиозные убеждения Ньютона  и до сих пор остаются несколько  загадочными. Но несомненно, он был  глубоко религиозным человеком. Бесспорно, противоречие между его  механической системой мира и его  религиозными чувствами было для  него очень болезненным. Он ясно выразил  это в своей переписке. Когда  ему было около 50 лет, Ньютон пережил  тяжелый нервный кризис, некоторые  исследователи говорят даже о  психическом заболевании. Он не мог  спать по нескольку дней и ночей  подряд. Его память была спутанной. Он переживал глубокую депрессию. Есть основания считать, что в этом случае мы имеем дело с кризисом мировоззрения.

Основная  догма научной идеологии - это  вера в то, что все измеримо, все  может быть выражено в числах, переведено на язык математики.

Эта вера содержится уже в призыве Галилея: "Измерить все, что измеримо, и  сделать измеримым то, что неизмеримо". Особенно интересна вторая часть  этой программы: как нам быть с  любовью, состраданием, мужеством, нежностью? Очевидно, всем этим сторонам жизни  нет места в математизированной концепции мира.

В научной  идеологии математизация играет ту же роль, что стандартизация в  технике. Простейший путь применения математики - это счет. Но считать можно только однородные объекты. Пусть нам даны, скажем, яблоко, цветок, собака, дом, солдат, девушка, луна. Мы можем сосчитать  их и сказать, что их 7 - но 7 чего? Единственный ответ - 7 предметов. Различия между  собакой и луной, между яблоком  и солдатом исчезают: они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы". Счет убивает индивидуальность. Это  самый примитивный пример, но во всех случаях присутствует тот же принцип. Другая особенность математики, очень существенная для научной  идеологии, - это ее способность трансформировать решение глубоких проблем в стандартизированные  логические схемы. Например, квадрирование  параболы или спирали в античности было проблемой, требующей усилий такого гениального математика, как Архимед, и основывалось на красивом арифметическом тождестве. Сейчас школьник старших  классов может стандартным приемом  вычислить интеграл от xndx при любом n. Более того, такое вычисление легко  совершает компьютер. Возникает  чувство, что вся математика может  быть сведена к работе грандиозного компьютера. Но большинство математиков, несомненно, согласятся с тем, что  их работа в принципе отличается от работы компьютера. Этот вопрос был  предметом интересной дискуссии  между Пуанкаре и Гильбертом в  начале нашего века. Та же проблема ставилась  тогда иначе: формализуема ли математика? Ответ Гильберта был: "да" - и  на этом пути он надеялся получить доказательство непротиворечивости арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним. Позже теорема  неполноты Гёделя, по-видимому, решила вопрос в пользу Пуанкаре. Особенно интересны взгляды Пуанкаре на роль эстетического чувства в математическом творчестве. Он говорит, что математическое открытие приносит чувство наслаждения, оно привлекательно как раз ввиду  содержащегося в нем эстетического  элемента. Если бы математика была лишь собранием силлогизмов, она была бы доступна всем - для этого была бы нужна лишь хорошая память. Но известно, что большинству людей  математика дается с трудом. Пуанкаре видит причину в том, что силлогизмы складываются в математике в "структуру", обладающую красотой. Чтобы понимать математику, надо "увидеть" эту  красоту, а это требует эстетических способностей, которыми не все обладают.

Пуанкаре  предлагает очень интересную схему  математического творчества. Он связывает  его с делением человеческой психики  на сознательную и бессознательную  части. Процесс начинается с сознательных усилий, направленных на решение некоторой  проблемы. Эти усилия повышают активность бессознательной части психики. Там появляется множество новых  комбинаций математических объектов - как бы возможных фрагментов решения. Они возникают в громадном  количестве и с колоссальной скоростью. Сейчас мы могли бы сравнить эту  фазу с работой грандиозного компьютера. Но подавляющая часть этих комбинаций бесполезна для решения проблем. Они, за очень небольшим исключением, не достигают сознания, проходят отбор, основанный на эстетическом принципе, некий эстетический барьер позволяет  лишь небольшому их числу проникнуть в сознание. Они появляются там  как готовая идея решения, причем это сопровождается очень сильным  субъективным чувством уверенности в правильности идеи. Дальше остается лишь техническая работа по осуществлению найденного решения.

Эта схема, очевидно, напоминает картину эволюции, основанную на мутациях и естественном отборе, и, вероятно, возникла под ее влиянием. Гораздо позже, видимо, не зная об идеях Пуанкаре, Конрад Лоренц высказал аналогичные мысли. Он рассматривает  жизнь как "процесс обучения", "познавательный процесс". Он подчеркивает черты, общие обоим явлениям - мышлению и эволюции, - такие, как "творческое озарение", "творческий акт", когда после долгих поисков "почти мгновенно" возникает новая идея или новый вид. Но можно эту аналогию обратить и взглянуть на эволюцию как на результат деятельности некоего гигантского интеллекта или души Природы. Концепция "anima mundi" (души Природы) возникала в различных философских и мистических учениях: у Платона, в христианстве. Когда в молодости я читал работы Пуанкаре, мне пришла в голову мысль об эволюции как процессе мышления; она показалась очень привлекательной. Только много позже я узнал, что еще до Дарвина знаменитый естествоиспытатель Л. Агассис рассматривал эволюцию как "мышление Бога". Но если продолжить эту аналогию, то насколько красивее окажется точка зрения Пуанкаре сравнительно с принятой сейчас концепцией: решающим фактором в эволюции оказывается не "борьба за существование", а эстетический критерий. Тогда становится понятным, почему природа порождает не только прекрасные растения и животных, но и решения проблемы адаптации видов, которые по красоте н е уступают самым совершенным научным теориям.

Но профессионалам-математикам  вряд ли нужны какие-либо аргументы  в пользу важности эстетического  элемента в математике: в разговорах математика все время можно услышать: "изящное доказательство", "прекрасная статья"... Каждый математик знает, что в его работе эстетическое чувство не только дает удовлетворение, помогающее и облегчающее необходимые  усилия, но и является рабочим средством, не менее важным, чем чисто логическое рассуждение. Он не будет следовать  некоторой линии мыслей, т. к. она  приводит к несимметричным, некрасивым формулам, и он будет верить в  некоторую гипотезу и не пожалеет сил для ее доказательства только потому, что она очень красива. С этой точки зрения математика играет противоположную, анти-техническую  роль. Мы видим, как под воздействием технологической цивилизации красота  все больше исчезает из нашей жизни: из живописи и музыки, из архитектуры  наших городов и из окружающей нас природы в виде прекрасных бабочек, цветов и птиц. Математика (вместе с математической физикой) остается почти единственным островом, где  это загадочное явление сохраняется  в полной силе. Иисус спросил: "Что  есть истина?". Явление красоты  не менее загадочно. Очевидно, что  это - одна из фундаментальных форм взаимодействия с внешним миром, столь же существенная для большинства  живых существ, как феномен истины и морали - для человека.