Математические методы экономического анализа

Общая формулировка нелинейных задач:

Найти переменные х1 , х2 , …, хn , удовлетворяющие системе  уравнений Ψ ( х1 , х2 , …, хn ) = bi , i = 1, 2, …, m (2.24)

и обращающие в  максимум ( минимум ) целевую функцию Z = f ( х1 , х2 , …, хn ) (2.25)

Общая задача нелинейного программирования (ОЗНП) определяется как задача нахождения максимума (или минимума) целевой функции f(x1, х2,..., xn) на множестве D, определяемом системой ограничений

где хотя бы одна из функций f или gi является нелинейной.

По аналогии с линейным программированием ЗНП однозначно определяется парой (D, f) и кратко может быть записана в следующем виде

Также очевидно, что вопрос о типе оптимизации  не является принципиальным. Поэтому  мы, для определенности, в дальнейшем по умолчанию будем рассматривать задачи максимизации.

Как и в ЗЛП, вектор х* = (x1*,x2*,...,xn*) D называется допустимым планом, а если для любого x D выполняется  неравенство f(x*) ≥ f(x), то х* называют оптимальным  планом. В этом случае х* является точкой глобального максимума.

С точки зрения экономической интерпретации f(x) может  рассматриваться как доход, который  получает фирма (предприятие) при плане  выпуска х, а gi(х) ≤ 0 как технологические  ограничения на возможности выпуска  продукции. В данном случае они являются обобщением ресурсных ограничений в ЗЛП (аiх – bi ≤ 0).

Задача (2.2) является весьма общей, т. к. допускает запись логических условий, например:

или запись условий  дискретности множеств:

Набор ограничений, определяющих множество D, при необходимости  всегда можно свести либо к системе, состоящей из одних неравенств:

либо, добавив  фиктивные переменные у, к системе  уравнений:

Перечислим свойства ЗНП, которые существенно усложняют  процесс их решения по сравнению  с задачами линейного программирования:

1. Множество  допустимых планов D может иметь  очень сложную структуру (например, быть невыпуклым или несвязным).

2. Глобальный  максимум (минимум) может достигаться  как внутри множества D, так  и на его границах (где он, вообще  говоря, будет не совпадать ни  с одним из локальных экстремумов).

3. Целевая функция  f может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических  методов математического анализа.

В силу названных  факторов задачи нелинейного программирования настолько разнообразны, что для  них не существует общего метода решения.Нелинейные задачи в определенных условиях решаются с помощью функции Лагранжа (множители Лагранжа): найдя ее седловую точку, тем самым находят и решение задачи (это определяется так называемыми условиями Куна—Таккера). Универсального метода для нелинейных задач нет, и, по-видимому, может не быть, поскольку они чрезвычайно разнообразны. Особенно трудно решаются многоэкстремальные задачи. Для некоторых типов задач выпуклого программирования (вид нелинейного) разработаны эффективные численные методы.

В целом задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным методам оптимизации. Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  источников:

1. http://ecosyn.ru/page0116.html

2. http://matmetod-popova.narod.ru/theme29.htm

3. http://naukoved.ru/content/view/892/44/

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_игр

5. « Математические методы в программировании » : / Агальцов В.П., Волдайская И.В. Учебник : – М . : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2006. – 224с. : ил. –(Профессиональное образование). – (Учимся программировать)

6. Баканов, М.И., Теория экономического анализа/ М.И. Баканов, А.Д. Шеремет-М.: Финансы и статистика, 2005.- 416с.

7. Вавилов В.А., Змеев О.А., Змеева Е.Е. Электронное пособие “Исследование операций”