Математические методы экономического анализа

Министерство  Образования Кыргызской Республики

Кыргызско – Российский Славянский Университет

Кафедра Экономического Анализа 
 

 
 
 
 
 
 

На тему:

Математические  методы экономического анализа 
 
 
 
 
 
 

                                                                                                      Выполнили: Ушурова Мубаряк

                                                                                                                                     Раев Рустам

                                                                                                       Проверила: Акматалиева А. С. 

Бишкек 2011 
Математические методы:

1. Матричный метод
2. Теория игр
3. Теория массового обслуживания
4. Линейное программирование
5. Нелинейное программирование

 

 

1. Матричный метод экономического анализа

Наряду с другими  экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные  методы. Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие  методы применяются для целей  анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно  выделить несколько этапов.

На первом этапе  осуществляется формирование системы  экономических показателей и  на ее основе составляется матрица  исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n), а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m).

На втором этапе  по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого  все суммы, отраженные в данной графе  делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем  этапе все составные части  матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается  определенный весовой коэффициент k. Величина последнего определяется экспертным путем.

Затем определяется рейтинговая оценка по каждой из анализируемых  систем по следующей формуле:

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок Rj группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные  методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных  инвестиционных проектов, а также  при оценке других экономических  показателей деятельности организаций. 
 
 
 
 
 

2. Теория  Игр экономического анализа

     Цель  теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков  в конфликтной ситуации, т.е. выбор  оптимальной стратегии для каждого  из них. Различают два больших  класса игровых моделей: модели без  противодействия (или их еще называют «играми с природой») и модели с противодействием (действия конкурентов на рынке).

     Игры  с противодействием часто называют конфликтными ситуациями, которые широко распространены в обществе. Например, конкурентная борьба в экономике, в  спортивных соревнованиях, состязание сторон в ходе судебного заседания и т.д. Игровая модель, в отличии от конфликтной ситуации, строится по определенным законам, а игроки придерживаются определенных правил.

     Развитие  игры во времени представляется как  ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайный ход – результат, получаемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход – выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегий) и принятие решения о его осуществлении.

     Конфликтная же ситуация, строго говоря, развивается  спонтанно.

     Участниками игры (конфликтной ситуации) могут  быть минимум два человека (парная игра) или несколько человек (множественная игра). Игра развивается по оговоренным правилами. Игроки по очереди делают свои ходы. Естественно, перед каждым ходом игрок может или сохранить предыдущую стратегию или применить новую стратегию. Если игрок при выборе очередного хода придерживаются каких-либо правил, то такая игра носит название стратегической. Однако игрок во время игры может менять вариант своего поведения (но не правил), т.е. сменить стратегию.

     Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную  таблицу (табл. 1.1) – платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы – стратегиям игрока В, ai j называется выигрыш первого игрока.

     Таблица 1.1

     Если  игра содержит ограниченное количество стратегий, то такая игра называется конечной. В противном случае – бесконечной.

     Стратегия, приносящая игроку максимальный выигрыш, называется оптимальной. Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются α i и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 1.2). В каждой строке будет свое α i = min aij . Предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой α i обращается в максимум, т.е.

     α = max (min aij),

     где α – гарантированный выигрыш (максимин).

     Если  придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случае не меньше α . Поэтому α называют также ценой игры – тот гарантированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

     Очевидно, что аналогично распределения можно провести и для конкурента В, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша:

     β = min (max aij),

     которое дает минимаксный выигрыш, или минимакс.

     Такая β – стратегия – минимаксная, придерживаясь которой стороне В гарантировано, что в любом случае она проигрывает не больше β, поэтому β называют верхней ценой игры.

     Если  α = β = С, то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

     Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрыша первого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

     Таблица 1.2

 

     Наиболее  полно разработан математический аппарат  игр с нулевой суммой, когда  выигрыш одного игрока равен проигрышу  другого игрока, т.е. общая сумма выигрыша всех игроков равна нулю.

     При построении игровых моделей предполагается, что каждый из игроков будет выбирать только лучшую (для себя) стратегию.

     Результатом исследования игровой модели является определение наиболее осторожной стратегии поведение игрока, либо обеспечение гарантированного выигрыша (как правило, минимального), либо сведение к минимуму проигрыша. Риски при получении большого выигрыша не учитываются и не оцениваются.

     Таким образом, результаты исследования игровых  моделей указывают на оптимальную стратегию поведения (гарантированный выигрыш), а какой стратегией воспользуется игрок в реальной жизни – дело самого игрока. 
 
 
 
 

3. Теория  массового обслуживания

     Теория  массового обслуживания – вероятностные  модели реальных систем обслуживания населения, при которых время обслуживания будет минимальным, а качество – высоким, не будет излишних затрат.

     Теория  массового обслуживания впервые  применялась в телефонии, а потом  и в других областях хозяйственной  деятельности.

     Пик своего развития теория массового обслуживания достигла в 50-70-е годы. Затем интерес к теории массового обслуживания несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами, например, математической. Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам теории массового обслуживания, обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению.

     Организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количество предприятий данного торгового профиля, численность продавцов в них, наличие соответствующих основных фондов, частота завоза товаров, численность обслуживаемого населения, плотность обращаемости и потребности в соответствующих основных фондов, частоты завозов товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Организации торгового обслуживания населения нужно выбрать такой оптимальный вариант, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних хозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.

     Различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.

     Теория  массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей  производительности технических устройств  или систем массового обслуживания, предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

     При наличии одного канала обслуживания система массового обслуживания называется одноканальной, если их несколько  – многоканальной. Если источники  заявок включены в систему, она называется замкнутой, иначе – разомкнутой. Если несколько систем соединены последовательно, таким образом, что заявки, удовлетворенные в одной системе, переходят к следующей, возникает многофазная система массового обслуживания.