Математические методы экономического анализа

     Исполнение  заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь готов к приему заявки. Если в системе допускается формирование очереди заявок, поступивших в моменты, когда все каналы заняты, они становятся в очередь и ожидают освобождения занятых каналов.

     В зависимости от допустимости и характера  формирования очереди различают  системы обслуживания с отказами, с неограниченной очередью и смешанного типа.

     Система с отказом имеет место, если формирование очереди не разрешено. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена.

     Система массового обслуживания с неограниченной очередью представляет собой структуру, где разрешается очередь неограниченной длины. В такой системе поступившие  заявки будут обслужены, хотя время ожидания может оказаться довольно продолжительным.

     В системе массового обслуживания смешанного типа возможны различные  ограничения, например, на максимальную длину очереди, время пребывания заявка в очереди и т.д. в системе  с ограниченной очередью заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обязательно обслуживается. В системе массового обслуживания с ограниченным временем пребывания в очереди заявка становится в очередь и ожидает некоторое случайное время. Если она за это время не попадает на канал обслуживания, то покидает очередь. Такой вариант обслуживания применяется для моделирования входного контроля заголовок и имитации брака на операциях по обработке деталей.

     Основная  задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей  эффективности системы от характера  входящего потока, дисциплины и ограничения  очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов  с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. в качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.

     Основными элементами системы массового обслуживания являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания, выходящий поток. Многие понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном важном примере: взлет и посадка самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.

     Во  многих задачах теории массового  обслуживания для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего  потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

     Прежде  всего получим уравнение в  конечных разностях для рn(t), т.е. для вероятности того, что в интервале времени t в системе находится n требований (клиентов). После этого при надлежащих условиях перейдем к пределам пи t®¥ и получим формулу для рn, соответстветствующих сиационарному режиму исследуемого процесса.

Применение теории массового обслуживания

     Теория  массового обслуживания – прикладная область теории случайных процессов. Теория рассматривает вероятностные  модели реальных систем обслуживания. Она используется для минимизации  издержек в сфере обслуживания, в  производстве, в торговле. При этом учитываются факторы: ритм изменения числа клиентов или заявок, вероятностные соображения, например, каковы шансы столкнуться с необычно большим наплывом покупателей, способ определения издержек ожидания и улучшения обслуживания. Предметом ее исследования являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, где в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства выполнения заявок. Теория массового обслуживания исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания, качества функционирования систем, где случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их исполнение.

     Данная  теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

     С использованием метода математического  моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

     Типичным  примером объектов теории массового  обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным  образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

     Исходя  их данных вероятностных характеристик  поступающего потока вызовов и продолжительности  обслуживания и учитывая схему системы  обслуживания, теория определяет соответствующие  характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

     Применение  системы массового обслуживания применяется в задачах, когда  в массовом порядке поступают  заявки на обслуживание с последующим  их удовлетворением. На практике это  могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации. 

Рис. Классификация  сетей массового обслуживания 
 
 
 
 
 
 
 

4. Линейное  программирование

     Исследование  свойств общей системы линейных неравенств ведется с XIX в., а первая оптимизационная задача с линейной целевой функцией и линейными  ограничениями была сформулирована в З0-е годы XX в. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди отечественных ученых большой вклад в теорию линейной оптимизации внесли лауреат Нобелевской премии Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие.

     Линейное  программирование традиционно считается  одним из разделов исследования операций, который изучает методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

     В классическом математическом анализе  исследуется общая постановка задачи определения условного экстремума, однако в связи с развитием  промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского  сектора традиционных результатов  математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование, т.е. формализованное описание изучаемого процесса и исследование его с помощью математического аппарата.

     Искусство математического моделирования  состоит в том, чтобы учесть как  можно более широкий спектр факторов, влияющих на поведение объекта, используя при этом по возможности несложные соотношения. Именно в связи с этим процесс моделирования часто носит многоэтапный характер. Сначала строится относительно простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются данной формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. При этом во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями, а следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.

5. Нелинейное программирование

Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или убывают не пропорционально изменению масштабов использования ресурсов (или, что то же самое, масштабов производства) из-за деления издержек производства на предприятиях на переменные и условно-постоянные, из-за насыщения спроса на товары, когда каждую следующую единицу продать труднее, чем предыдущую, из-за влияния внешней экономики, внешних издержек и т. д.

В краткой  форме задачу нелинейного программирования можно записать так:

max G(x) при  условиях

где х  — вектор искомых переменных; G(x) — целевая функция; g(x) — функции  ограничений; b — вектор констант ограничений (выбор знака < здесь произволен, в конкретных случаях он может  быть изменен на обратный). Иначе  говоря, задача состоит в выборе таких неотрицательных значений переменных, подчиненных системе ограничений в форме неравенств, при которых достигается максимум (или минимум) данной функции. При этом не оговаривается форма ни целевой функции, ни неравенств. Возможны разные случаи: целевая функция нелинейна, а ограничения линейны; целевая функция линейна, а ограничения (хотя бы одно из них) — нелинейны; и целевая функция, и ограничения нелинейны.

Нелинейные  задачи сложны, часто их упрощают тем, что приводит к линейным. Для этого условно принимают, что на том или ином участке целевая функция возрастает или убывает пропорционально изменению независимых переменных.

Такой подход называется методом кусочно-линейных приближений, он применим, однако, лишь к некоторым видам нелинейных задач.

Задачами нелинейного  программирования называются задачи математического  программирования, в которых нелинейны  и (или) целевая функция, и (или) ограничения  в виде неравенств или равенств.

Задачи нелинейного  программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).

Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для  нелинейного программирования не существует.

В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости  от вида функции F(x).

Задачи нелинейного  программирования на практике возникают  довольно часто, когда, например, затраты  растут не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.

Многие задачи нелинейного программирования могут  быть приближены к задачам линейного  программирования, и найдено близкое  к оптимальному решению. Встречаются  задачи квадратичного программирования, когда функция есть F(x) полином 2-ой степени относительно переменных, а ограничения линейны. В ряде случаев может быть применён метод штрафных функций, сводящей задачу поиска экстремума при наличии ограничений к аналогичной задаче при отсутствии ограничений, которая обычно решается проще.