Линии второго порядка

и пред. (у — Ах) = пред. (В ± ε) = В. Следовательно, для определения постоянного  количества стоит только в уравнении  кривой положить Y/X = q или y = xq и сыскать  предел, к которому стремится q для бесконечно больших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривой примем у — Ах = ν, или у = Ах + ν. Изменив х на у и наоборот и рассуждая так же, как и выше, найдем А., не параллельные оси х. Так, например, уравнение рассмотренной нами гиперболы через подстановку qx вместо у дает a²/x² — q²x²/b² = 1 или q² = b²/a² — b²/x²; полагая х = ∞, найдем q² = b²/a², или q = ±(b/a)A. Полагая в том же уравнении y = Ax + ν = +(b/a)x + ν, получим x²/a² — [(±x(b/a) + ν)²/b²] = 1, или ν = ±(b/a)∙[√(x² — a²) — x], где, полагая x = ∞, получим ν = 0 = B; следовательно, уравнение А. предложенной гиперболы будет, как и выше, Y = +(b/a)X, что и требовалось доказать. Бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кроме упомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида, логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др. Чертежи I, II и III представляют (см.) примеры а-ты: линии KL и MN служат (черт. I) асимптотами нормальной равносторонней гиперболы, получающейся от пересечения поверхности конуса плоскостью, — пересекающимися в точке О, начала координат, под прямыми углами;

линии AF и AG (черт. II) изображают А. частей СВ и CED так называемой пересечной гиперболы.

Змиевидная гипербола DBE (черт. III) имеет асимптотой линию  АС. 

       
 
 

     Диаметры. 

     В курсе аналитической геометрии  доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряжённым этой хорде (и всем хордам, которые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр.  

     Если  эллипс задан уравнением 

            (6.1) 

     то  его диаметр, сопряжённый хордам  с угловым  коэффициентом k, определяется уравнением: 

               (6.2) 

           Если гипербола задана уравнением  

             (6.3) 

     то  её диаметр, сопряжённый хордам с  угловым коэффициентом k, определяется уравнением: 

           (6.4) 

     Все диаметры параболы параллельны её оси.

     Если  парабола задана уравнением  

     y² = 2px      (6.5) 

     то  её диаметр, сопряжённый хордам с  угловым   коэффициентом k, определяется уравнением  

            (6.6) 

     Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряжёнными.

     Если  k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диаметров эллипса (6.1), то  

            (6.7) 

     Если  k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжённых диаметров гиперболы (6.3), то 

           (6.8) 

     Соотношения (6.7) и (6.8) называются условиями сопряжённости диаметров  соответственно для эллипса и для гиперболы. Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряжённым хордам, называется главным.

 

      7. Привидение уравнений линий  второго порядка к простейшему. 

     Упрощение общего уравнения  кривой второго порядка 

     Задача  упрощения уравнения или состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:

     1) член, содержащий произведение текущих  координат, 

     2) члены, содержащие первые степени  двух координат или, по крайней мере, одной из них. 

     В том случае, когда уравнение линии  второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его  следует начинать с поворота осей без изменения начала координат  и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам 

          (7.1) 

     Если  после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением  текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду. 

     Координатную  систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x₁Oy₁, а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x₁Oy₁, - через x₂O₁y₂ (см. рис. 7.1) 

     

     Рисунок 7.1 

 

      Упрощение уравнения центральной линии второго порядка 

     Дано  уравнение , определяющее центральную линию второго порядка ( = АС — В² ¹ 0). Перенося начало координат в центр S (х₀; у₀) этой линии и преобразуя уравнение по формулам: 

     

     

     получим; 

           (7.2) 

     Для вычисления можно пользоваться формулой:

     

 

     Или

 

     Дальнейшее  упрощение уравнения (7.2) достигается при помощи преобразования координат 

                    (7.3) 

     соответствующего  повороту осей на угол α.

     Если  угол α выбран так, что: 

           (7.4) 

     то  в новых координатах уравнение линии примет вид 

                      (7.5) 

     где   . 

     Замечание. Уравнение (7.4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии 

     

         

     Между коэффициентами уравнений (1*) и (7.5) существуют важные соотношения: 

     

     

, 

     которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобразования координат.

     Уравнение второй степени называется эллиптическим, если > 0, гиперболическим, если < 0, и параболическим, если = 0.

     Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.

     Каждое  эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).

     Каждое  гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых). 

 

      Упрощение параболического уравнения. 

 Пусть уравнение является параболическим, т. е. удовлетворяет условию . 

В этом случае линия, определяемая уравнением , либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение при помощи формул                                 (7.6)

          

Угол  следует найти из уравнения                         (7.7) тогда в новых координатах уравнение приводится либо к виду                                           (7.8)

где , либо к виду                                            (7.9)

где . 

     Дальнейшее упрощение уравнений (7.8) и (7.9) достигается путём параллельного перенесения (повёрнутых) осей.

     8. Главные направления и диаметры  линий второго порядка. 

     

     

     

       

     

     

     

     

     

     

     

     

       
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 

1. А.П. Веселов, Е.В. Троицкий, Лекции по аналитической  геометрии, МГУ, 2002.
2. Д.А. Клетеник, Аналитическая геометрия.
3. П.И. Кузнецов, Лекции по аналитической геометрии МГУ.
4. С.Б. Кадомцев, Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Физматлит, 2003
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическая геометрия.