Линии второго порядка

     СОДЕРЖАНИЕ 

     

1. Линии второго  порядка на евклидовой плоскости.
2. Инварианты уравнений линий второго порядка.
3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.
4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.
5. Центры линий второго порядка.
6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.
7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.
8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

 

     СПИСОК  ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

 

     Определение:

     Евклидова плоскость – это пространство размерности 2, (двумерное вещественное пространство).

     Линии второго порядка представляют собой  линии пересечения кругового  конуса с плоскостями, не проходящими  через его вершину.

     Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий.

     Если  секущая плоскость пересекает все  прямолинейные образующие одной  полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 1.1, в — это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

     

     Рисунок 1.1

     Общее уравнение линии  второго порядка  имеет следующий  вид: 

          (1) 

     или 

          (1*) 

     Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁  и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

     При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

     Для вывода канонического уравнения  эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F₁F₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F₁ и F₂ совпадают, то О совпадает с F₁ и F₂, а за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через О).

     Пусть длина отрезка F₁F₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F₁ и F₂ соответственно   имеют   координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с (Если М — точка эллипса (см. рис. 1.2), то |MF_]|+ |MF₂| = 2a, а так как сумма двух сторон MF₁ и MF₂ треугольника MF₁F₂ больше третьей стороны F₁F₂ = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F₁F₂ и эллипс вырождается в отрезок.).

      Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у)  (рис. 1.2). Обозначим через r₁ и r₂ расстояния от точки М до точек F₁ и F₂ соответственно. Согласно определению эллипса равенство

                                                                                               Рис. 1.2

     r₁ + r₂ = 2а             (1.1) 

     является  необходимым и  достаточным условием расположения точки  М (х, у) на данном эллипсе.

     Используя формулу расстояния между двумя точками, получим 

         (1.2)

      

     Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

      

         (1.3) 

     представляет  собой необходимое  и достаточное  условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

            (1.4)

     где

              (1.5) 

     Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r₁ и r₂ для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у² из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для г₁ после несложных преобразований найдем, что , тогда

     

.

     Совершенно  аналогично найдем, что . Таким образом, для рассматриваемой точки М 

      ,    (1.6) 

     т. е. r₁ + r₂ = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>Ь).

     Замечание. Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b, а центр совпадает с началом координат. 

     Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек, F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (Фокусы F₁ и F₂ гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпадении F₁ и F₂, которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F₁ совпадает с F₂, то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

     Для вывода канонического уравнения  гиперболы выберем начало координат  в середине отрезка F₁F₂, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F₁F₂ равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F₁ и F₂ соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a < 2с, т. е. a < с.

     Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1,2). Обозначим через r₁ и r₂ расстояния MF₁ и MF₂. Согласно определению гиперболы равенство

            (1.7) 

     является  необходимым и  достаточным условием расположения точки  М на данной гиперболе.

     Используя выражения (1.2) для r₁ и r₂ и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе: 

      .            (1.8) 

     Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (1.8) к виду 

           (1.9)

     где 

            (1.10) 

     Мы  должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r₁ и r₂ удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r₁ и r₂ следующие выражения: 

          (1.11) 

     Таким образом, для рассматриваемой точки  М имеем , и поэтому она располагается на гиперболе.

     Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. 

     Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.

     Указанная в определении точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой (направляющая) параболы.

     Для вывода канонического уравнения  параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису (Естественно считать, что фокус F не лежит на директрисе, ибо в противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия определения параболы, располагались на прямой, проходящей через F перпендикулярно директрисе, т. е. парабола выродилась бы в прямую), а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.3. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда в выбранной системе координат точка F имеет координаты ( ). Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у). Обозначим через r расстояние от М до F, а через d — расстояние от М до директрисы (рис. 1.3). Согласно определении              параболы равенство r = d    (1.12)                 является необходимым и достаточным условием расположения точки М на-данной параболе.

      рис 1.3 

     Так как 

          (1.13) 

     (эта  формула верна лишь для точек  с неотрицательными абсциссами х. Для точек с отрицательными абсциссами, как легко видеть, выполняется соотношение г > d, и поэтому такие точки можно исключить из рассмотрения) то, согласно (1.12), соотношение 

           (1.14) 

     представляет  собой необходимое  и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной параболе. Поэтому соотношение (1.14) можно рассматривать как уравнение параболы. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду 

           (1.15) 

     Убедимся  в том, что уравнение (6.15), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.14), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.15), величины r и d равны   (выполнено соотношение   (1.12)).

     Из  соотношения (1.15) вытекает, что абсциссы х рассматриваемых точек неотрицательны, т. е. . Для точек с неотрицательными абсциссами . Найдем теперь выражение для расстояния r от точки М до F. Подставляя у² из выражения (1.15)   в правую  часть выражения для r (1.13)   и учитывая, что , найдем, что  . Таким образом, для рассматриваемых точек r = d, т. е. они располагаются на параболе.

     Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы. 
 
 
 
 

     Пример 1.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

     Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

     Получилось  каноническое уравнение эллипса  с центром в   и полуосями  и .  

     Пример 1.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением x²+ 10х - 2у + 11 = 0.

     Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действительно,