Линии второго порядка

.

     Получилось  каноническое уравнение параболы с  вершиной в точке   и . 

 

      2. Инварианты уравнений линий  второго порядка. 

     Назовем инвариантом уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат такую функцию f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃) от коэффициентов а_in этого уравнения, значения которой не меняются при переходе к новой декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, если f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃) инвариант и а’_ij - коэффициенты уравнения линии второго порядка в новой системе декартовых координат, то 

     f(a₁₁, a₁₂, ..., а₃₃)= f(a’₁₁, a’₁₂, ..., а’₃₃) 

     Теорема: Величины

         (2.1) 

     являются  инвариантами уравнения  (1) линии второго порядка относительно преобразований декартовой системы координат. 

     Доказательство.

     Очевидно, инвариантность величин  достаточно доказать отдельно для параллельного переноса системы координат и для поворота

     Рассмотрим  сначала параллельный перенос системы  координат. При этом преобразовании координат коэффициенты группы старших членов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины . Займемся величиной . В новой системе координат О'х'у' величина равна

           (2.2) 

     Вычитая из последней строки этого определителя первую строку, умноженную на х₀, и вторую, умноженную на у₀ (х₀ и у₀ — координаты нового начала О'), и используя при этом выражения для а’₁₃ и а’₂₃ из формул параллельного переноса

        (2.3)

     где

     найдем, что этот определитель равен: 

     

 

     Если  теперь вычесть из последнего столбца  полученного определителя первый столбец, умноженный на х₀, и второй, умноженный на y_о, и использовать при этом выражения для а'₁₃ и а'₂₃ из формул (2.3), то в результате получится определитель, стоящий в правой части выражения для в формулах (2.1). Итак, инвариантность при параллельном переносе системы координат доказана.

     Рассмотрим  теперь поворот декартовой системы  координат. При этом преобразовании коэффициенты а’_ij уравнения линии L в новой системе связаны с коэффициентами а_ij уравнения этой линии в старой системе с помощью формул  

         (2.4)  

     Докажем теперь инвариантность . Имеем, согласно (2.4): 

     

 

     Таким образом, инвариантность доказана. Обратимся теперь к

     

 

     Разлагая  этот определитель по элементам последнего столбца, учитывая только что доказанную инвариантность , т. е. равенство 

     

     и  равенство а'₃₃ = а₃₃, получим 

         (2.5) 

     Согласно   формулам   (2.4)   первое слагаемое в правой части (2.5) может быть преобразовано следующим образом: 

      (2.6) 

     Совершенно  аналогично получается равенство  а'₂₃ 

      (2.7) 

     Из  соотношений (2.6) — (2.7) получаем 

          (2.8) 

     Так как величины А, В, С, углы не зависят от угла (эго вытекает из инвариантности ), то из (2.8) следует, что так же не зависит от угла , т. е. при любом значении имеет одно и то же значение. Но а'_ij = а_ij при =0, и поэтому .Таким образом, инвариантность также установлена. Теорема доказана. 
 
 

 

      3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения. 

     Введем  следующие обозначения:

                          

     Тогда

     Пример 3.1: Определение зависимости типа данной кривой (3.1) от параметра b с помощью инвариантов

 

       (3.1)

     Для уравнения кривой второго порядка (3.1) имеем:

     Вычислим  инварианты кривой

.

.

.

     В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

     Если  I₂ = 0, то уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа.

     Но  I₂ = -306-11b , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.

     Но  при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.

     Если  I₂¹ = 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при  данная кривая – центральная.

     Если  I₂ > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I₁I₃ = (1-b)(4885b-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I₂ > 0, I₁I₃ < 0) получим, что если , то уравнение (1) определяет эллипс.

     Если  I₂ < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

Если  I₂ < 0 и I₃ = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

Если  I₂ < 0 и I₃¹ 0, то данная кривая – гипербола. Но I₃¹ 0 при всех  за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу. Используя полученные результаты, построим таблицу: 

 

      4. Линии второго порядка на  аффинной плоскости. Теорема единственности. 

       

     

     

     

     

     

       

     

       
5. Центры линий второго порядка. 

     Центром некоторой линии называется такая  точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

     Точка S (х₀; у_а) является центром линии, определяемой уравнением (1*) в том и только в том случае, когда её координаты удовлетворяют уравнениям: 

             (5.1) 

     Обозначим через  определитель этой системы: 

     

. 

     Величина  составляется   из  коэффициентов   при   старших   членах   уравнения (1*) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

     Если  ¹ 0, то система (5.1) является совместной и определённой, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам: 

     

       

     Неравенство ¹0 служит признаком центральной линии второго порядка.

     Если  S (х₀ , у₀) — центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам 

     

     

     (что  соответствует переносу начала  координат в центр линии) её  уравнение примет вид 

     

, 

     где А, В, С — те же, что в данном уравнении (1*), а определяется формулой 

     

 

     В случае ¹ 0 имеет место также следующая формула: 

     

     Где 

     

. 

     Определитель D называется дискриминантом  левой части общего уравнения второй степени. 

 

      6. Асимптоты и диаметры линий  второго порядка.

Асимптоты.

(от  греч. слов: α, συν, πίπτω) —  несовпадающая. Под асимптотой  подразумевается такая линия,  которая, будучи неопределенно  продолжена, приближается к данной  кривой линии или к некоторой ее части так, что расстояние между обеими линиями делается менее всякой данной величины; иначе говоря, А. касается данной кривой линии на бесконечном расстоянии от начала координат. Всякая другая линия, параллельная А., хотя и приближается непрестанно к кривой, однако, не может быть названа в свою очередь А., так как расстояние ее от кривой не может быть уменьшено по произволению. Таким образом, число А. для каждой кривой вполне ограничено. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойство кривых линий, образующихся на поверхности конуса от пересечения его плоскостью, стало известным, что ветви гиперболы, будучи неопределенно продолжены, непрестанно сближаются с двумя прямыми линиями, исходящими из центра гиперболы и одинаково наклоненными к ее оси. Эти прямые, о которых упоминает уже Архимед, были еще в древности названы А. и сохранили свое название и по настоящее время. Впоследствии Ньютон показал, что существуют криволинейные А. не только в кривых трансцендентных, но даже в алгебраических, начиная с 3 порядка последних. Действительно, ныне различают А. прямолинейные и криволинейные; но обыкновенно прямолинейной А. присваивают название Асимп., называя криволинейную — асимптотическою кривою. Основываясь на вышеприведенном определении, что прямолинейная А. есть касательная к кривой в точке, бесконечно удаленной от начала координат, легко найти уравнение А. данной кривой. В самом деле, пусть y = f(x) есть уравнение кривой линии; уравнение касательной ее в точке, определенной координатами х и у, будет, как известно, У— у = dy/dx(Х — х) или Y = (dy/dx)Х + у — x(dy/dx). Чтобы перейти от касательной к А., стоит сделать одно из следующих предположений: 1) x и y = ±∞, 2) х = ±∞, а у = конечному числу и 3) у = +∞, а х = конечному числу, так как этими предположениями мы выражаем, что точка касания находится на бесконечном расстоянии от начала координат. Так, для гиперболы, определяемой уравнением (x²/a²) — (y²/b²) = 1 находим Y = ±(b/a)∙[x/√(x² — a²)]∙X ± [ab/√(x² — a²)]. Полагая х = ∞, найдем ±(b/a) — [x//√(x² — a²)] = ±(b/a)∙[1/√(1 — a²/ x²)] = ±(b/a), и ±[ab//√(x² — a²)] = 0; следовательно, уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет У = ±(b/a)Х или, что все равно, Y = +(b/a)X и Y = -(b/a)X; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А. Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет У А. = Х + В уравнение А., не параллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующая абсциссе x, для весьма больших величин сей абсциссы будет очень мало разниться от ординаты У а-ты, так что можно ее принять у = Ах + В ± ε, подразумевая под ε количество, уничтожающееся вместе с 1/x. Итак, полагая x = ∞, найдем пред. (Y/X) = пред.