Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Используя этот первый интеграл, мы можем переписать второе из уравнений (26) в виде

Отсюда

Поэтому 

Общее решение системы (26) имеет следующий  вид 

ЛИНЕЙНЫЕ  СИСТЕМЫ  С   ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. СОДЕРЖАЩИЕ     ПРОИЗВОДНЫЕ                                                         ВЫШЕ ПЕРВОГО  ПОРЯДКА

    Метод  исключения.   Используя  общий   метод  сведения любой  кано-нической  системы  к уравнению более высокого порядка,  мы,  вообще  говоря,   всегда   можем свести линейную систему, содержащую произ-водные выше    первого    порядка,  к одному линейному уравнению более высокого порядка.  Найдя решение  этого уравнения,  мы получим решение заданной системы уже без дальнейших квадратур.

Пример. Проинтегрировать систему :

Эта система  приводится к одному уравнению четвертого порядка:

         y⁽⁴⁾−k⁴y=0                                                                                  (2)

        Отсюда:

        y=C₁e^kx+C₂e^−kx+C₃coskx+C₄sinkx                                              (3)

       Поэтому:                    ввв

  Метод Даламбера.

    Метод   Даламбера,   изложенный   ранее, распространяется и на линейные системы уравнений, содержащие производные выше первого порядка.

Рассмотрим  систему двух уравнений:

Умножая второе уравнение на k, складывая почленно с первым уравнением и выбирая k из условия:

       a₁₂+ka₂₂=k(a₁₁+ka₂₁)                                             (6)

получаем:

Это линейное неоднородное уравнение с постоянными  коэффициентами относительно y+kz. Интегрируя его, найдем:

    y+kz=φ(x, C₁, C₂, … , C_n).                                         (8)

если корни  уравнения (6) различные относительно y и z, получим общее решение системы (5).

  Укажем, в заключение, что линейная система  с постоянными коэффициентами так же, как и линейное уравнение с постоянными коэффициентами, может быть проинтегрирована операторным методом.