Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

stify">              или      l²-10l+9=0;

находим: l₁=1, l₂=9, так что характеристические числа различные и вещественные.

  Составляем  систему для определения чисел g₁ и g₂ соответствующих характеристическому числу l₁ = 1. Матрица коэффициентов этой системы получается из матрицы 

   5-l      4   

     4   5-l заменой l на l₁=1, так что искомая система будет иметь вид 

                        

Здесь, как и следовало ожидать, второе уравнение является следствием первого (оно даже совпадает с первым уравнением) и его можно было и не выписывать. Полагая ,   находим g₁=1, находим g₂= −1

  Таким  образом,  характеристическому  числу    Х₁=1   соответствует  решение:

y₁= е^х, z₁ = −e^x. (20)

  Аналогично,     решая     систему,     соответствующую    характеристическому  числу  l₂=9:

                                         (21)

находим: g₁=1, g₂=1 так что этому характеристическому числу соот-ветствует решение:

y₂=e^9x, z₂=e^9x (22)

Мы получили фундаментальную систему решений:

       (23) 

Беря линейную комбинацию,  получаем  общее решение:

                            

Пример 2. Рассмотрим систему:

                

Характеристическое уравнение 

 
 

Имеет комплексные сопряженные корни λ₁ = 2 + i, λ₂ = 2 – i. Найдем решение, соответствующее λ_1. Это решение имеет вид y = γ₁e^(2+i)x,

z = γ₂e^(2+i)x. Числа γ₁ и γ₂ ищем из системы

          

Полагая γ₁=1, находим γ₂ = - i, так что искомым решением будет 

 

Это решение комплексное. Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения 

 

Эти решения  составляют фундаментальную систему  решений, так что общим решением будет 

 
 

Пример 3. Найти общее решение системы:

    

Характеристическое  уравнение

Имеет различные  и притом вещественные корни λ₁ = 2,  λ₂ = 3, λ₃=6,  так что фундаментальная система решений имеет вид (10). Найдем сначала частное решение вида

Соответствующее характеристическому числу λ₁ = 2. В качестве чисел γ_11, γ_22, … , γ_1n можно взять алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

                             

который получается из характеристического определителя Δ (λ) заменой  λ на λ₁=2. Получаем

или (деля на 2)

 

Подставляя эти  значения γ_1k в (33), получим

Аналогично найдем, что в качестве чисел γ_2k , γ_3k , соответствующих характеристическим числам λ₂ = 3, λ₃=6, можно взять γ₂₁ = 1, γ₂₂ = 1, γ₂₃ = 1, γ₃₁ = 1, γ₃₂ = -2, γ₃₃ = 1. Фундаментальной системой решений будет

Так что общее  решение имеет следующий вид

 

Случай  наличия кратных  корней характеристического  уравнения.

  Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то изложенный выше способ построения фундаментальной системы решений, очевидно, не применим.

  Однако и в этом случае удается построить фундаментальную систему решений в элементарных функциях.

  Заметим, прежде всего, что если l₁ есть простое характеристическое число, то независимо от того, будут среди остальных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

                       y₁=g₁e^l1x , y₂=g₂e^l1x , … , y_n=g_ne^l1x     (38)

где g₁, g₂, … ,g_n — некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

  Таким образом, задача сводится к тому, чтобы  найти частные решения, соответствующие кратному корню.

  При этом, так же как и для линейного  однородного уравнения n-го порядка, оказывается, что одному характеристическому числу кратности k соответствует k линейно независимых частных решений.

  Теорема. Если l₁ есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида

y₁=P₁(x) e^l1x , y₂=P₂(x) e^l1x , … , y_n=P_n(x) e^l1x                                                 (39)

где P₁(x), P₂(x), … , P_n(x) суть полиномы от х степени не выше чем k−1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих полиномов k коэффициентов являются произвольными, а все остальные выражаются через них.

  В частности  может случиться, что все эти  полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу l₁ будет соответствовать решение вида

y₁=g₁e^l1x , y₂=g₂e^l1x , … , y_n=g_ne^l1x (40)

Однако  здесь k из коэффициентов g₁, g₂, … , g_n являются произвольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным является только один из них.

  Практически при нахождении решения, соответствующего характеристическому числу l₁ нужно искать решение в виде (39), считая P₁(х), Р₂(х), ..., Р_п(х) полиномами (k−1)-й степени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (39) в (2), выразить все коэффициенты через k из них, которые остаются произвольными.

  Полагая поочередно один из этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k линейно   независимых   решений,   соответствующих   характеристическому числу l₁. Все эти частные решения будут составлены из произведений показательной функции e^l1x на полиномы от х, степени которых не превышают k−1. Если же полиномы в формулах (39) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

  Если l₁ — вещественное характеристическое число, то построенные выше k линейно независимых решений будут вещественными.

  Если  же система (2) имеет комплексное  характеристическое число a + ib кратности k, то оно имеет сопряженное характеристическое число а—ib той же кратности.

  Построив  k линейно .независимых комплексных решений, соответствующих характеристическому числу a + ib, и отделив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k, вещественных линейно независимых частных решений.

  В общем случае каждому  простому вещественному  характеристическому числу соответствует одночастное решение, каждой паре простых сопряженных комплексных характеристических чисел соответствует два вещественных линейно независимых решения, вещественному характеристическому числу кратности k соответствует k вещественных линейно независимых частных решений, а каждой паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности k соответствует 2k вещественных линейно независимых частных решений. Всего получается п вещественных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале(-∞,+∞), так что они образуют фундаментальную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же произвольными постоянными С₁, С₂, ..., С_п, мы получим общее решение системы (2) в области (12). 

  Заметим, однако, что мы не можем ,на основании указанной теоремы выяснить до конца структуру фундаментальной системы   решений  до   тех   пор,  тюка   не   построим   ее   фактически.

  Мы  выясним эту структуру в следующей  главе, где будет дан другой способ построения фундаментальной системы, причем в отличие от настоящего пункта там строится сразу вся фундаментальная система.

  Указанный выше вид фундаментальной системы  решений дает возможность сделать некоторые заключения об устойчивости нулевого решения однородной системы (2)* .

  Теорема об асимптотической  устойчивости (в смысле Ляпунова)  нулевого  решения однородной линейной системы  с постоянными коэффициентами.

  Рассмотрим  систему:  

               

где a_kl — постоянные . вещественные числа, а х₁, x₂, ..., x_n — неизвестные функции от времени t.

  Теорема. Если все характеристические числа системы (41) отрицательные или имеют отрицательную вещественную часть, то нулевое решение