Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

   ЛИНЕЙНЫЕ  СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  С  ПОСТОЯННЫМИ   КОЭФФИЦИЕНТАМИ

   §  I. МЕТОД ЭЙЛЕРА 

  211.   Предварительные  замечания.  В  этой  главе  мы  будем  изучать линейные системы уравнений:

          

              
 

Или                                                                                                             (1′)                                                                                                                                                                                                                                   
 
 
 

Где коэффициенты a_kl=(k, l=1,2,…,n) – постоянные вещественные числа, а f_k(x) (k=1,2,…,n) – функции от х, непрерывные в интервале (a,b).

  Применяя  общую теорию линейных систем уравнений, изложенную в предыдущей главе, мы покажем, что система (1) всегда может быть проинтегрирована в конечном виде, т. е. либо в элементар- ных функциях, либо в квадратурах.

  Так как  интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной системы, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородной системы:

 
 
 
 
 

  В силу теоремы о построении общего решения, для построения общего решения системы  (2)  достаточно построить хоть одну фундаментальную систему решений.

  Применяя  теорему о существовании фундаментальной системы решений, мы видим, что существует фундаментальная система решений, определенных и непрерывных в промежутке

Более того, согласно замечанию теоремы о существовании фундаментальной системы решений, существует фундаментальная система решений, голоморфных в интервале .

      Мы покажем, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, голоморфных в интервале . 

  212. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородной линейной системы в случае различных корней характеристического уравнения. По аналогии с однородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами будем искать частное решение системы  (2) в виде

                 (3)

g₁, g₂, ..,g_n и l - некоторые постоянные числа, причем числа g₁, g₂, ..,g_n не равны нулю одновременно, ибо в противном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фунда- ментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

  Обратим особое внимание на то, что число l мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

  Подставляя  функции (3) в систему (2), сокращая на е^lx и пере- нося все члены направо, получим для определения чисел g_k следующую систему: 

                      
 

  (4) 
 
 

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель системы равен нулю, т. е. при условии

    

                                                (5)                                                                                     

                                                                                                              

   Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы

(2), его корни— характеристическими числами, а определитель   D(l) -характеристическим определителем.

      Рассмотрим сначала случай, когда  все характеристические числа    

l₁,l₂,...,l_n  различны. В этом случае имеем:  D(l_i)=0, но   Вследствие этого ранг матрицы

 
 
 
 
 

Составленной  из коэффициентов системы

 
 
 
 

которая получается из системы (4) после замены в ней l на l_i - равен n-1.

    Действительно, вычисляя D’(l), имеем:   

 

где D_ll (l) - алгебраическое дополнение элемента a_ll - l определителя D(l). Так как  то из (8) видим, что хоть один из определи- телей (п—1)-го порядка, именно один из D_ll (l_i), отличен от нуля, так что ранг рассматриваемой матрицы равен п — 1.

  Поэтому одно из уравнений системы (7) есть следствие  осталь-ных и эта система имеет ненулевое решение, определенное с точ-ностью до произвольного множителя пропорциональности A_i:

g_i1 = A_im_i1, g_i2 = A_im_i2,…, g_in = A_im_in (i=1.2,…, n).     (9)

  Например, в качестве g_ik можно взять алгебраические дополнения элементов любой строки определителя D_l(l_i), если не все они равны нулю. В самом деле, так как сумма произведений элементов какой-либо строки определителя D_l(l_i) на алгебраические дополнения эле-ментов другой строки равна нулю, а сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения равна самому определителю D(l_i) т. е. снова равна нулю, то ясно, что, заменив в системе (7) неизвестные g_k взятыми алгебраическими дополнениями, мы  получим  тождества.

  Фиксируя в формулах (9) множитель A_i, мы получим определен-ное решение системы (7).

   Подставляя  теперь в (3) вместо l последовательно характеристи-ческие числа l_i ,а вместо g₁, g₂,..., g_n — соответствующие им решения системы (7), определяемые формулами (9) при фиксированных множителях A_i, получим п решений: 

 

Эти решения  линейно независимы в интервале .

   Если при этом все корни l₁, l₂,..., l_n вещественны, то все решения (10) тоже будут вещественными.

  Таким образом, в случае различных вещественных корней характеристического уравнения система (2) имеет п вещественных линейно независимых частных решений вида (10), так что последние образуют  фундаментальную   систему решений.

Поэтому, в  силу теоремы о построении общего решения, формулы 

 

Дают общее  решение системы (2) в области 

 

  Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные, то последние входят сопряженными парами. Пусть      a + ib и а – ib — простые корни характеристического уравнения. Корню a+ib соответствует согласно формуле (3) решение

      y₁=g₁e^(a+ib)x,  y₂=g₂e^(a+ib) , … , y_n=g_ne^(a+ib).                          (13)

здесь g1,g2, ...,gn – комплексные числа. Полагая

  g₁=g₁₁+ig₂₁,   g₂=g₁₂+ig₂₂, … ,g_n=g_1n+ig_2n ,

Получаем решение 

      y₁=( g₁₁+ig₂₁) e^(a+ib)x, y₂=( g₁₂+ig₂₂) e^(a+ib)x, … , y_n=( g_1n+ig_2n) e^(a+ib)x.

   Это   решение   комплексное. Отделяя в нем вещественные и мнимые части,  мы    получим,    согласно свойствам решений однородной системы, два  вещественных решения: 

Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале . Нетрудно убедиться, что сопряженный корень а—ib не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

  Таким образом, если все характеристические числа — различные и вещественные, то мы получаем соответствующие им вещественные линейно независимые частные решения в виде (10). Если же все характеристические числа — различные, но среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристических чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида (15). Всего мы получим п вещественных частных решений.  Все  эти решения  линейно  независимы  в  интервале .

  В самом деле, предположим обратное. Тогда, написав соответствующую систему соотношений между этими решениями и перейдя в ней от тригонометрических функций к 'показательным, мы получили бы, что системы функций вида (10), где l₁, l₂, … , l_n —различные числа, оказались бы линейно зависимыми.

  Общее решение системы  (2) в области (12) представляет собою линейные комбинации построенных п вещественных линейно независимых частных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

 

Пример  1. Найти общее решение системы: 

Решая характеристическое уравнение