Лабораторная работа по «Корреляционный и регрессионный анализ»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

 

 

 

Кафедра Математики

 

 

 

Лабораторная работа по дисциплине:

«Корреляционный и регрессионный анализ»

Вариант 7

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:	ст. гр. МАГ02-17-01 Мурзагалиева Г.И.
Принял:	Майский Р.А.

 

 

 

 

Уфа 2017 г.

Дана таблица:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	2,7	2,5	2,9	2,6	2,2	2,8	3,3	3,9	4,0	3,7
у	24,6	21,6	27,0	22,0	24,0	26,5	31,0	33,9	35,0	34,4

 

 

Необходимо сделать:

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Рассчитайте параметры уравнения линейной, степенной, экспоненциальной, показательной, обратной, гиперболической парной регрессии.

С помощью показателей корреляции и детерминации оцените тесноту связи.

Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

С помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования, для линейной модели дополнительное исследование по критерию Стьюдента.

Обоснуйте выбор лучшего уравнения регрессии.

Постойте графики уравнений регрессии на поле корреляции.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение:

1. Построим поле корреляции.

Рисунок 1 – Поле корреляции

На основании изученного поля корреляции можно сделать вывод, что характер связи исходных данных будет подчиняться одному из следующих уравнений: уравнению линейной, степенной, экспоненциальной, показательной, обратной, гиперболической парной регрессии. Окончательное решение о принадлежности данных одному из шести уравнений можно будет принять только на основании расчетов, приведенных ниже.

1)Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии:

Решим систему уравнений:

* QUOTE * *

Для удобства составляем таблицу с необходимыми для расчета значениями.

 

Таблица 1

№	x	y	xy	x2	y2
1	2,7	24,6	66,42	7,29	605,16
2	2,5	21,6	54	6,25	466,56
3	2,9	27	78,3	8,41	729
4	2,6	22	57,2	6,76	484
5	2,2	24	52,8	4,84	576
6	2,8	26,5	74,2	7,84	702,25
7	3,3	31	102,3	10,89	961
8	3,9	33,9	132,21	15,21	1149,21
9	4	35	140	16	1225
10	3,7	34,4	127,28	13,69	1183,36
∑	30,6	280	884,71	97,18	8081,54
ср.	3,06	28	88,471	9,718	808,154

 

 

* QUOTE * *

  * QUOTE * *

* QUOTE * *

Исходное уравнение примет вид: * QUOTE * *

Найдем значение уравнения в каждой точке х:

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * *

Составляем таблицу 2 с полученными значениями.

Таблица 2

№	x	y
1	2,7	24,6	25,1642	0,318322
2	2,5	21,6	23,589	3,956121
3	2,9	27	26,7394	0,067912
4	2,6	22	24,3766	5,648228
5	2,2	24	21,2262	7,693966
6	2,8	26,5	25,9518	0,300523
7	3,3	31	29,8898	1,232544
8	3,9	33,9	34,6154	0,511797
9	4	35	35,403	0,162409
10	3,7	34,4	33,0402	1,849056
∑	30,6	280	279,9956	21,74088
ср.	3,06	28	27,9956	2,174088

 

Оценим тесноту связи с помощью показателя корреляции.

* QUOTE * *, где σх – среднеквадратическое отклонение признака х,

                     σу – среднеквадратическое отклонение признака у,

                    b – коэффициент регрессии.

Линейный коэффициент корреляции должен находиться в пределах * QUOTE * *. Коэффициент корреляции оценивает тесноту связи признаков в ее линейной формуле, поэтому близость к 0 по абсолютной величине r не означает отсутствие связи между признаками.

* QUOTE * *

* QUOTE * *

* QUOTE * * – находится в пределах * QUOTE * *.

Оценим тесноту связи с помощью показателя детерминации r2.

r2 = (0,95)2 = 0,9

Показатель детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака.  Величина коэффициента детерминации является одним из критериев оценки качества линейной модели. Чем больше доля объясненной вариации, тем меньше роль прочих факторов и, следовательно, линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Оценим по F-критерию Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

* QUOTE * *, где r2 – коэффициент детерминации,

                                  n – число статистических данных

* QUOTE * *

Вычисленное значение F признается достоверным, т.е. отличным от 1, если оно больше табличного. В этом случае гипотеза об отсутствии признаков связи отклоняется и делается вывод о существовании этой связи.

Если бы произошла обратная ситуация и вычисленное значение F было бы меньше табличного, то уравнение регрессии приняли бы статистически незначимым. И гипотеза об отсутствии связи не была бы отклонена.

Fтабл  = 5,32

Fфакт = 72

Fфакт < Fтабл   , следовательно, уравнение регрессии принимается статистически незначимым

Исследуем уравнение по критерию Стьюдента

tr факт = 8,5

tr табл = 4,78

tr факт > tr табл  

Таким образом, проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильно проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии в целом.

Вычисляем среднюю ошибку аппроксимации:

* QUOTE * *

Ошибка аппроксимации – величина отклонения фактического и расчетного значений результативного признака (* QUOTE * *) по каждому наблюдению. Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше эти отличия, тем ближе теоретические значения к эмпирическим данным и тем лучше качество модели. Так как величина ошибки аппроксимации может быть как положительной, так и отрицательной, то ошибку аппроксимации принято определять в процентах по модулю.

 

Рассчитаем параметры уравнения степенной парной регрессии:

Для удобства расчетов нелинейную модель перевели в линейную с помощью соответствующих преобразований.

Решим систему уравнений:

* QUOTE * *

Для удобства составляем таблицу с необходимыми для расчета значениями.

Таблица 3

№	x	y	X	Y	XY	X2	Y2
1	2,7	24,6	0,993252	3,202746	3,181134	0,986549	10,25758	11,56
2	2,5	21,6	0,916291	3,072693	2,81548	0,839589	9,441444	40,96
3	2,9	27	1,064711	3,295837	3,509113	1,133609	10,86254	1
4	2,6	22	0,955511	3,091042	2,953526	0,913002	9,554543	36
5	2,2	24	0,788457	3,178054	2,50576	0,621665	10,10003	16
6	2,8	26,5	1,029619	3,277145	3,374212	1,060116	10,73968	2,25
7	3,3	31	1,193922	3,433987	4,099914	1,425451	11,79227	9
8	3,9	33,9	1,360977	3,523415	4,795285	1,852257	12,41445	34,81
9	4	35	1,386294	3,555348	4,928759	1,921812	12,6405	49
10	3,7	34,4	1,308333	3,538057	4,628956	1,711735	12,51784	40,96
∑	30,6	280	10,99737	33,16832	36,79214	12,46578	110,3209	241,54
ср	3,06	28	1,099737	3,316832	3,679214	1,246578	20,05834	43,91636