Возьмем , т.к. случай (т.е. ) не представляет интереса: обе части формулы (18) – нули.

Тогда

 

Обозначая написанное отношение через  и придем к (18).

    Если  _{в промежутке} непрерывна, тогда и есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, и формула (18) имеет вид

 

 Пусть  непрерывна, а функция _{имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива оценка интеграла Стилтьеса:}

 

где

    Доказательство:

 
 

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы  получить (21).

 Пусть в промежутке функция ограничена, монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от и , то имеет место формула

 
 

и почленно вычитая  эти равенства, получим

 

Обозначим через  колебание функции в промежутке , тогда

  для  , то, применяя оценку (21) к каждому интегралу с границами в отдельности, получаем:

 

    Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все – произвольное наперед заданное взятое число, тогда

 
 
10. Предельный переход  под знаком интеграла  Стилтьеса.

 Пусть  функции  непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

 

также непрерывной, а  - функция с ограниченным изменением. Тогда

 

Доказательство:

По заданному  найдется такое N, что при n>N будет для всех x

 

Тогда в силу (21), для n>N

 

т.к. - произвольное, то теорема доказана.

 

 Пусть  функция  непрерывна в промежутке , а функция - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

 

и при стремятся к предельной функции

 

то

 

Доказательство:

 Докажем,  что  имеет ограниченное изменение. Разложим промежуток произвольным образом на части точками

 

Тогда для  любого

 

Перейдем  к пределу при 

 

откуда и

 

    Составим  суммы Стилтьеса

 

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то, в силу оценки (22), при всех

 

    С  другой стороны, если разбиение  фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое N, что для n>N будет

 

    Тогда  для тех же значений n в силу (23) и (24) получаем:

 

Т.к. - любое, то теорема доказана.

 

 

 
 
11. Примеры.

№1 Вычислить по формуле

 
 

а)

 
 

б) (s)

=

в)(s)=

 
 

№2 Вычислить по формуле

 
 

а) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок -2, при х=2

в остальных  точках , т.к. g(x)=const

(S)

б) (S)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=

                                  скачок -2, при х=

в остальных  точках , т.к. g(x)=const

(S)

 
 

№3 Вычислить по формуле При

 
 

а)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 
 
 
 

б)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 

+

 
 

в)

функция g(x) терпит скачок 1, при х=-1

                                  скачок 1, при х=

 
 

+

=

№4

а) Составить выражение Ф(х) и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках х= 1, 2 и 3 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке [1;3]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=1 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2х-1

В точке х=2 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2х

В точке х=3 функция  терпит скачок =1 => Ф(х)=2*3+1=7

Итого:

Ф(х)=

б)  Составить выражение Ф(х) для следующего распределения масс: массы величины 2 в точках х= 2 и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью 2х в промежутке [0;5]

Решение.

Ф(х)=

Ф(а)=о => Ф(1)=0

В точке х=2 функция  терпит скачок =2 => Ф(х)=

В точке х=4 функция терпит скачок =2 => Ф(х)=

Итого:

Ф(х)=

 

Список  литературы

1. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального  исчисления. Том 3.Москва 1960
2. http://www.phismat.ru/dif.php