Оглавление

1.Определение интеграла Стилтьеса. 2

2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса. 4

3.Классы случаев существования интеграла Стилтьеса. 5

4.Свойства интеграла Стилтьеса. 10

5. Интегрирование по частям. 12

6. Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана. 13

7. Вычисление интегралов Стилтьеса. 15

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса. 20

Теорема о среднем, оценки. 21

10. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. 23

11. Примеры. 27

Список  литературы 31

 

 
 
1.Определение  интеграла Стилтьеса.

Стилтьес  Томас Иоаннес (29.21.1856, Эволле-31.12.1894, Тулуза) нидерландский ученый математик  и астроном, член Нидерландской академии наук, иностранный член-корреспондент  Санкт-Петербургской академии наук по Физико-математическому отделению. Окончил Политехническую школу в Делфте. Работал на Лейденской обсерватории, с 1886 года преподаватель, затем профессор Университета в Тулузе. Научные исследования Стилтьеса в основном касаются теории функциональных непрерывных дробей, проблемы моментов, теории ортогональных многочленов, интегрального преобразования, приближенного интегрирования и других вопросов классического анализа. Обобщенное Стилтьесам понятие интеграла Г.Римана, предложенное в 1894 году, играет важную роль в современной математике.

 Определяется  интеграл Стилтьеса следующим образом.

    Пусть  в промежутке [a,b] заданы две ограниченные функции f(x) и g(x). Разложим точками 

промежуток  [a,b] на части и положим Выбрав в каждой из частей (i=0, 1,…,n-1) по каждой точке , вычислим значение f() функции f(x) и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции g(x)  

Наконец, составим сумму всех таких произведений: 

Эта сумма  носит название интегральной суммы  Стилтьеса.

    Конечный  предел суммы Стилтьеса  при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции f(x) по функции g(x) и обозначается символом 

   Чтобы  особенно отчетливо подчеркнуть,  что интеграл рассматривается  в смысле Стилтьеса, употребляют  обозначение 

Предел здесь  понимается в том смысле, что и  в случае обыкновенного определенного  интеграла.

Точнее говоря, число I называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток [a,b] раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство 

Как бы ни выбирать точки  в соответствующих промежутках.

    При  существовании интеграла (3) говорят  также, что функция f(x) в промежутке [a,b] интегрируема по функции .

    Единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, когда в качестве функции взята сама независимая переменная x:

  Мы для определенности предполагали a<b; нетрудно аналогично рассмотреть и случай, когда a>b.  Впрочем, он непосредственно приводится к предыдущему ввиду равенства

2.Общие условия существования интеграла Стилтьеса.

Установим общие  условия существования интеграла  Стилтьеса, ограниченность, впрочем, предположением, что функция  монотонно возрастает.

    Отсюда  следует, что при a<b теперь все , наподобие того, как раньше было .  Аналогично сумма Дарбу, здесь целесообразно ввести сумм 

где означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции f(x) в i-ом промежутке . эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу - Стилтьеса.

При одном  и том же разбиении , причем s и S служат точными границами для стилтьесовых сумм . Сами суммы Дарбу – Стилтьеса обладают следующими свойствами:

    1-е  свойство: Если к имеющимся точкам  деления добавить новые точки,  то нижняя сумма Дарбу –  Стилтьеса может от этого разве  лишь возрасти, а верхняя сумма  – разве лишь уменьшится.

2-е свойство: Каждая нижняя сумма Дарбу  – Стилтьеса не превосходит  каждой верхней суммы, хотя  бы и отвечающей другому разбиению  промежутка.

    Если  ввести нижний и верхний интегралы  Дарбу – Стилтьеса: 

то оказывается, что 

    Наконец,  с помощью сумм Дарбу – Стилтьеса  легко устанавливается для рассматриваемого  случая основной признак существования  интеграла Стилтьеса:

    Теорема.  Для существования интеграла  Стилтьеса необходимо и достаточно, чтоб было 

или 

если под  понимать колебание функции f(x) в i-ом промежутке .

 
 
3.Классы  случаев существования  интеграла Стилтьеса.

Определение функции с ограниченным изменением:

Пусть функция  f(x) определена в некотором конечном промежутке [a,b]. Разложим этот промежуток произвольным образом на части с помощью точек деления: 

Из абсолютных величин приращений функции, отвечающих отдельным частичным промежуткам, образуем сумму

                                

Если такие  суммы в их совокупности ограничены сверху, то говорят, что функция  f(x) в промежутке [a,b] имеет ограниченное изменение ( или ограниченную вариацию). При этом точную верхниюю границу этих сумм называют полным изменением функции в указанном промежутке и обозначают символом 

    I. Если функция f(x) непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса 

существует.

   Сначала  предположим, что  монотонно возрастает: тогда применим критерий предыдущего пункта. По произвольному заданию ввиду равномерной непрерывности функции f(x) найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание f(x) будет меньше . Пусть теперь промежуток [a,b] произвольно разбит на части так, что . Тогда все и 

откуда и  следует выполнение условия (4), а  стало быть и существование интеграла.

    В  общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции : 

    Так  как каждая из сумм  и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

    Можно  ослабить условия, налагаемые  на функцию f(x), если одновременно усилить требования к функции

    II. Если функция f(x) интегрируема в [a, b] в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица: 

(L=const., ), то интеграл существует.

    Предположим,  что функция  не только удовлетворяет условию (6), но и является монотонно возрастающей.

    Ввиду  (6), очевидно, , так что 

Но последняя  сумма при  и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции f(x), а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

    В общем случае функции удовлетворяющей условию Липшица (6), представим ее в виде разности 

Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6) , при  

и 

    III. Если функция f(x) интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом: 

где абсолютно интегрируема в промежутке [a,b], то интеграл (5) существует.

    Пусть  , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена:

, то для имеем 

Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу II.

    Предположим  теперь, что  интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, например, b. Прежде всего, т.к. выберем так, чтобы было 

где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

    Разобьем  промежуток [a, b] произвольным образом на части и составим сумму 

Она распадается  на две суммы  из которых первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке а вторая – остальным промежуткам. Последнее содержатся в промежутке [b-,b], если только тогда, в силу (8), 

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

    В  общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке [a, b]: 

 неотрицательные  и интегрируемые в названном  промежутке.   Так как 

то вопрос сводится, как и выше, к уже  рассмотренному случаю.

    Замечание.  Пусть функция  непрерывна в промежутке [a, b] и имеет, исключая лишь конечное число точек, производную , причем эта производная (если ее значения в точках, где она не существует, выбрать произвольным образом) интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от a до b; тогда имеет место формула типа (7): 

Если  абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в III.

 
 
4.Свойства  интеграла Стилтьеса.

Из определения  интеграла Стилтьеса непосредственно  вытекают следующие свойства: 
 
 

Доказательство: 
 
 

=

Что и требовалось  доказать. 

При этом в  случаях  из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем 

в предложении, что a<c<b и существуют все три интеграла.

    Для  доказательства этой формулы  достаточно включить точку с в число точек деления промежутка [a, b] при составлении суммы Стилтьеса для интеграла

Из существования  интеграла  следует существование обоих интегралов .

    Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого

из стилтьесовой  суммы  получается интеграл Стилтьеса, имеет