К квантовой теории вероятностей

(1) Для                                   , где                 .

(2) Для                                   , где                 .

Из этих двух свойств вытекает, что если к этим функциям применить процедуру доопределения, то свойство (1) функции будет противоречить условию (*,1)         , а свойство (2) функции       будет противоречить условию (А, а) которое является частным случаем первого.

В этом случае, если принять определением случайного события условие (*), то тогда ни

событие    , ни событие   не являются случайными.

А можно ли приписывать таким событиям вероятностей в этом случае?

Чтобы выяснить это, необходимо уяснить реальную роль событий  и   в классической теории вероятностей. В этой теории принимается, как специфическая черта с точки зрения обычной теории меры, что мера всего пространства всех элементарных событий равна единице:         .

Что подразумевает под собой подобный постулат?

Если вдуматься, то он утверждает, что невозможно появление новых элементарных событий, а все многообразие их осуществляется лишь за счет бесконечного, но постоянного количества.

Как указывается в статье С.Т. Мелюхина (6), подобное утверждение не может осуществляться в действительности, и поэтому подобная интерпретация события  . для которого постулируется         , не является правильной. Необходимо поэтому еще раз более тщательно сравнивать аксиомы классической теории вероятностей и аксиомы теории меры, например, длины.

Следует прежде всего тогда поставить вопрос: а что измеряют та и другая теории?

Если в теории меры измеряется некоторая характеристика такого, например, геометрического объекта, существующего в наличном бытии, как отрезок, то в теории вероятностей измеряется некоторая характеристика такого объекта, существующего как бытие в возможности, как некоторое определенное событие. В теории меры измеряемой характеристикой отрезка является его протяженность, а в теории вероятностей измеряемой характеристикой определенного события является возможность этого события.

Протяженность отрезка измеряется его длиной, а возможность определенного события измеряется его вероятностью.

Подобную аналогию можно представить в виде таблицы:

 

Теория меры		Теория вероятностей
	Объект
Определенный отрезок		Определенное событие
	Характеристика
Протяженность		Возможность
	Мера
Длина		Вероятность

 

И в той, и в другой теории необходимо иметь объект, мера которого равна была единице? Т.е.

 

 

Таким образом, становится ясно, что событие   есть всего-навсего единичное событие, с помощью которого измеряются возможности других событий.

И сразу же отсюда следует тот факт, что условие для любого события    :    не является необходимым. И это так. Можно привести приме:

Пусть из города  А выходит N человек. Эти люди направляются в город В1, В2, В3 и никуда иначе. В город В1 приходит N1 человек, В2-N2, В3-N3.

Вероятность попасть в город В1 оценивается в        , в В2-    , в В3-    .

Обычно считается, что ситуация Р1>1, Р2>1, Р3>1 хотя бы не одновременно невозможны.

Но представьте себе, например, что №1 человек идущих из А в В1 составляют не просто группу людей, а несколько семей, и у них в дороге рождается N человек, и тогда вероятность Р1 будет оцениваться так:

 

 

В общем случае это можно сформулировать так: «Если в процессе происхождения некоторого события возникает новая возможность, то вероятность этого события может быть больше единицы». Развивая аналогию теории вероятностей с теорией меры, необходимо провести аналогию процессов измерения, например, длины и вероятности.

В первую очередь задаются единицы измерения: единичный отрезок   и единичное событие  , для которых длина и вероятность:                   .

Пусть имеются некоторый отрезок А и некоторое событие А, длину и вероятность соответственно мы хотим измерить.

Тогда в первую очередь разбиваем единичный отрезок на 10  конгрузнтных частей, а единичное событие, соответственно, производим в 10  раз, где  - натуральное число и нуль.

Пусть     - число отрезков,       - го разбиения, меньших отрезков А;     - число отрезков      -го разбиения, имеющих ненулевое пересечение с А, а для события А пусть N    - число появлений события А при 10  - кратном появлении единичное событие. Для процесса измерения длины справедливы неравенства:

 

 

Но для процесса измерения подобных неравенств не существует в случае измерения вероятности. Поэтому для процесса измерения длины существуют строгие пределы  

поскольку                             .

Но для процесса измерения вероятности строгого предела                          

не существует (см. 6).

Ясно, что неполнота аналогии между этими процессами является из-за их разной сущности. Ведь первый процесс измеряет объект наличного события, а второй – бытия в возможности.

Далее следует рассмотреть аналогию между аксиомами функции длины и функции вероятности:

 

Функция (А) не отрицательна, т.е. длина  (А) является не отрицательным числом для любого отрезка

Функция  (А) инвариантна, т.е. конгруэнтные отрезки имеют одинаковую длину

Функция аддитивна, т.е. если отрезок  А разбит точной на отрезки А1 и А2, то

Функция нормирована, т.е. единица измерения   имеет единичную длину:    .

 

Функция  Р (А) не отрицательна, т.е. вероятность Р (А) является не отрицательным числом для любого события

Функция Р (А) инвариантна, т.е. равновозможные события имеют одинаковые вероятности.

Функция аддитивна, т.е. если событие А состоит из несовместимых событий А1 и А2 то Р (А) = Р(А1) + Р(А2)

Функция нормирована, т.е. единичное событие V  имеет единичную вероятность: Р (V) = 1.

 

Очевидно, что для функции длины, как и для функции вероятности, могут быть сформулированы теоремы, аналогичные теоремам сложения и умножения вероятностей. Но не это будет нас интересовать. Нас будет интересовать роль каждой аксиомы в теории вероятностей..

Но прежде чем рассмотреть роль важной аксиомы, сделаем следующие замечания относительно аксиомы   .

Аксиома в случае измерения протяженности отрезков необходима, если мы имеем дело с неориентированными отрезками на вещественной прямой. А если мы будем иметь дело с ориентированными отрезками на вещественной прямой то нам неминуемо потребуется функция  длины с отрицательными значениями. А если мы к тому же будем измерять отрезок и его ориентацию на плоскости, то нам неминуемо потребуется функция длины с комплексными значениями.

Подобное же положение возникает с аксиомой    в теории вероятностей. Вероятность будет иметь отрицательные и даже комплексные значения, если мы будем рассматривать ориентированные события. Но что такое ориентированные события?

Сначала определим понятие противоположного события, т.е. антисобытия и сделаем это аксиоматическим образом.

Если для двух событий А и В, верно, что

а)

в)

г)                                   или                  

то либо             является антисобытием, для А, либо               является антисобытием для В.

Заметим, если утверждение а) заменить на утверждение           где 1 – единичное событие, т.е.

А=В либо В=А.

Примерами ориентированных событий могут быть события следующего типа:

Пусть у нас имеется ящик с шарами черного, белого  и красного цветов, и пустых шаров, т.е. воздуха. Определим единичное событие   как событие, заключающееся в вынимании из ящика каких-либо шаров, т.е. из ящика вылезает наша рука с шарами. Определим пустое событие    как событие, заключающееся в вынимании из ящика пустого шара, т.е. из ящика вылезает наша рука с пустой ладонью. Теперь определим для события А: выталкивание красного шара антисобытие      : внесение красного шара.

Удовлетворяет ли это определение антисобытия аксиомы?

Прежде чем ответить на этот вопрос, разберем особенности понятий объединения и пересечения событий, используемых в данной работе. Здесь считается, что любое событие может быть разложено на некоторое множество подсобытий           таких, что наступление их одновременно означает поступление события А. Если у нас имеются события А и В, то их разложения записываются так:

 

 

С другой стороны, мы можем сказать, что событие А может быть представлено как объединение событий А1, А2, ….т.е.    :

Итак, объединение событий А и В – это происхождение такого события С, которое разложено на события А и В. Если в разложениях событий А и В существуют подмножества событий                                                     

    элементы из которых  совпадают, т.е.                 будет являться пересечением  событий А и В, т.е.                                                                          

Итак, пересечение событий А и В – это происхождение такого события С, которое разложено на события                                , которые являются подсобными события А, и события В.

В нашем примере с шарами получается следующее:

а) одновременное внесение красного шара, т.е. прохождение события      и вытаскивания красного шара, т.е. прохождения события       равносильно прохождению пустого события         

б) очевидно, что пересечение события А и В есть пустое событие        

г) очевидно, что ни событие А, ни событие В не являются пустыми событиями     :

 

Итак, в нашем примере событие В есть антисобытие для события А.

Заметим, что если за одно втаскивание или вытаскивание мы будем втаскивать или вытаскивать более, чем один шар, то вероятности вытаскивания какого-либо шара будут больше единицы.

Теперь определим многомерные события.

Пусть у нас имеются множества событий которые пересекаются только в одном событии, являющимся пустым событием   и никак иначе, то событие, являющееся объединением событий по крайней мере из двух разных множеств:

              является многомерным.

Заметим, что  

                                                                                                       

Вероятности многомерных событий записываются тогда как из координаты через вероятности составляющих из одномерных событий.

Если ввести понятие мнимого единичного события  1:                         то аналогично можно ввести и комплексные вероятности.

Как показано в (8), независимость аксиомы      друг от друга выводится очень просто, а вот независимость аксиомы     определяется принятием либо отрицанием небезызвестной аксиомы выбора. Давайте разберемся, какое значение имеет аксиома выбора в теории вероятностей, если вероятность вводить как производную.

Прежде всего запомним, что вышеуказанная система аксиом            в случае измерения длин относится к множеству отрезков, взятых как непрерывные объекты, а в случае измерения вероятностей относится к множеству событий, взятых как дискретные объекты.

Следует так же знать, что утверждение о том, что функция локально постоянная на некотором интервале, постоянна на нем, как показано в работе (9) доказывается с помощью аксиомы выбора.

А в    настоящей работы показывается, что в случае непрерывного множества событий это утверждение не является истинным, если вероятность вводить как производную. Следовательно, для задания вероятности в случае непрерывного множества событий нужно либо отказаться от аксиомы выбора, либо вводить какое-то ее расширение. А это означает, что потребуется либо отказаться от независимости аксиомы    либо вводить ее какое-то расширение, наверное в форме введения индефинитной метрики для вероятностей.

Аксиома выбора участвует так же и в доказательстве т. Лониталя, с помощью которой мы показали, что традиционное определение вероятности и определение вероятности как производной совпадают в дискретном множестве событий. Ясно, что если мы перейдем к непрерывному множеству событий, то это совпадение окажется под вопросом и скорее всего традиционное определение в этой области откажется работать.

Можно с уверенностью теперь сказать, что в случае непрерывного множества событий аксиома выбора, как выше аксиома Дедекинда, будет заменена некоторой «неаксиомой».

Вопросы аксиомы выбора и аксиомы Дедекинда тесно связаны, поскольку в аксиому Дедекинда содержится утверждение о возможности упорядочения некоторого множества, которое является известной леммой Цорка, которая эквивалентна формулировке аксиомы выбора.

А в случае дискретного множества событий мы показали, что введение понятия о производной как о некоторой вероятности и удовлетворение ей аксиомы вероятности дает нам право говорить о родстве этих понятий, не только по референту, но и по свойствам их самих по себе.

В свою очередь понятие производной в тех случаях, когда оно используется для описания природы, тоже являет свойства, подобные свойствам вероятности. Но тема эта достаточно обширна и более сложна, поэтому она требует своего отдельного рассмотрения и мы затрагивать ее не будем.

 

 

8. Заключение.

 

Итак, мы выяснили, что понятие вероятности является фундаментальным, что оно отражает количественным образом свойства особого события, бытия в возможности, и что оно имеет глубокую связь с понятием производной, тоже отражающем свойства бытия в возможности; и, если первое отражает эти свойства с точки зрения случайного, то второе с точки зрения необходимого. Отсюда еще более становится понятна роль вероятности в науке, особенно в квантовой физике.