К квантовой теории вероятностей

…Подобный взгляд на действительность заставляет задуматься о том, а нельзя ли свести понятие вероятности к понятию, тоже в какой-либо мере отражающее переход наличного бытия в бытие в возможности и за одно показать, что оно удовлетворяет аксиомам вероятности.

И такое понятие действительно существует. Переход наличного бытия в бытие в возможности и обратно характерен для процесса любого движения, а характеристикой любого движения является понятие производной. Вспомнив же известные априори Зенона «Ахиллес и черепаха», «Стрела», имеющие отношение к понятию бытия в возможности и обратив внимание на принцип неопределенности Гейзенберга, в котором производная в форме скорости принципиально оказывается связанной с понятием теории вероятностей, мы поймем, что только с понятием производной мы должны связывать понятие вероятности.

Итак, попробуем показать преимущества введения вероятности как производной, что подобное определение понятия вероятности удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей, а также отчасти показать, к каким следствиям ведет подобное определение теории вероятностей, которые имеют большое значение в теории множеств и в частности, в теории вещественной прямой.

 

Часть третья.

 

6. Вероятность и производная.

 

Пусть дано дискретное пространство элементарных событий                      независимых в том смысле, что происхождение, появление события          не меняет пространство    и пусть даны экспериментальные данные о количествах событий                            в     испытаниях, т.е.            .

Определенную этими экспериментальными данными дискретную функцию               можно аппроксимировать какой-либо непрерывной функцией, так, чтобы с ее помощью можно было оценить или даже точно вычислить значение вероятности события          . Пусть эта функция будет обозначаться          где       - непрерывное множество аргумента.

Если придерживаться частотной трактовки понятия вероятности, то ее значение может быть определено с помощью функции        , заданной на кусочно-непрерывном множестве аргументов, дополнением которого до полностью непрерывного является бесконечное, но счетное некоторое множество точек. В этом случае вероятность определяется как угловой коэффициент асимптоты, как предел:

 

Помимо некоторых чисто математических недостатков это определение неудобно тем, что по своей сути оно характеризует весь процесс испытаний, всю совокупность испытаний, а к одному, отдельному испытанию непосредственного отношения не имеют. Ведь определенная таким образом вероятность характеризует весь цикл испытаний, а определенное испытание имеет эту вероятность постольку, поскольку является частью цикла.

Если задать функцию          так, чтобы выполнялись некоторые соотношения:

 

 

 

Где                 - промежуток, на котором она задана, то число К совпадает с вероятностью         , поскольку:                                                                                                                                               

 

 

Второй вариант определения вероятности, в отличие от первого, характеризует не только весь цикла испытаний, но и отдельное испытание, и, кстати, лишен присущих первому варианту чисто математических недостатков.

Эти математические недостатки вытекают из строго определения предела:                                                                                                                            

 

Совершенно ясно, что нельзя указать такое N*, для которого бы выполнялось строго (**).

Для второго же определения вероятности подобное выражение выполняется строго:     

 

поскольку для любого                                             

Если для первого варианта определения вероятности выражение (**) нельзя записать математически строго, то можно строго определить другой предел:

 

Для второго варианта определения вероятности соотношения (***) записывается в виде

 

                                где               удовлетворяет условиям (*), а событие       состоит, в том что выполняется:                                 для данного   .

 
Это означает, что должна существовать функция с такими свойствами:                  

 

 

Существование функции, удовлетворяющей условию (А), в дискретном случае усматривается непосредственно.

…А к каким нюансам приведет определение понятия вероятности через производную, если начальные и конечные состояния испытаний будут являться непрерывными величинами? Как в этом случае нужно сформулировать условие (А) или (*)?

Формальным образом условия (*) или (А) могут быть сформулированы вот таким образом:

…Если на некотором интервале (а, в) для некоторого наперед заданного числа          существует такая функция        от случайной величины X, принимающей значения Х и имеющей область определения  а  х  в  и удовлетворяющая условиям:

 а) для любых                  таких, что                                                                       

 

б) для любых                   таких, что                                   

 

                                          то, К – вероятность.

Условие (  ) является формальным обобщением условия (*), а для условия (А) формально обобщается в условие:

а) для любых                                   таких, что

 

б) для любых                                   таких, что                                   

 

Назовем условие    (   , б) локальной линейкой на интервале (а, в), а условие (А, б) локальным постоянством на интервале (а, в).

Как доказано в (7), если существует такая функция, для которой выполнено условие локального постоянства, и если из этого условия следует утверждение, отрицающее утверждение (А, а), что функция постоянна и на всем интервале, то всякое расширение упорядоченного поля рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю вещественных чисел.

Из этого следует, что обобщенное условие (А) не может быть задано на поле вещественных чисел.

…Рассмотрим условие (  ) и (А) с содержательной, а не формальной точки зрения. Если предшествующие этим условиям условия (*) и (А) требовали по своему содержанию доопределению дискретной функции как типа до типа непрерывной функции, то до типа такой функции должен быть расширен тип непрерывной функции в случае принятия условия (А)?

Итак, чтобы ввести понятие вероятности через производную в случае непрерывной случайной величины, в случае непрерывного пространства исходов, требуется найти невещественное расширение поля рациональных чисел.

Чтобы разобраться в том, какое невещественное расширение поля рациональных чисел требуется для введения понятия вероятности через производную в случае непрерывных величин, нужно показать предел возможностей ранее указанного способа доопределения дискретных величин.

Пусть у нас существуют события                           каждому из которых соответствует величина Х, когда N испытаниям соответствует непрерывная величина NX    , а     исходам события    соответствует непрерывная величина            . Тогда у на будут существовать дискретные функции в масштабе   .

Пусть каждое из событий          будет составлено из К событий     , т.е.           что можно выразить нагляднее графически.

 

 

 

Пусть каждому из событий     - ряда соответствует масштаб                 и каждому из событий       может соответствовать дискретная функция             в масштабе        , и пусть с событиями       мы можем повторять вышеописанную процедуру. Назовем группу событий, взятых по одному из каждого ряда, и объединим общим происхождением цепью. А каждое событие цепи назовем составляющей. Пределом цепи назовем цепь с бесконечным числом составляющих. Ясно, что для предела цепи            …функция                     не будет являться дискретной, и будет в крайнем случае лишь непрерывной, поэтому аппроксимировать предел цепи непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям (*) невозможно.

Но с другой стороны, так возможно аппроксимировать каждую отдельную, либо конечную часть составляющих предела цепи. Поэтому предел цепи можно охарактеризовать «суммой» аппроксимаций её составляющих которая, конечно, будет уже не непрерывной функцией, а общей функцией «ленточного» типа, удовлетворяющей условиям, напоминающие условия (*).

В указанных процедурах четко усматривается, что для введения вероятности, как производной на множестве конечного числа событий требуется доопределение дискретной функции до непрерывной функции а для введения вероятности как производной на множестве бесконечного числа событий, требуется доопределения непрерывной функции до функции «ленточного», неопределенного типа, описание которой, очевидно, требует развития аппарата невещественного расширения поля рациональных чисел.

Более подробное рассмотрение необходимости невещественного расширения поля рациональных чисел есть в работе «К экспликации натурального ряда в теорию множеств».

Поскольку в работе (7) показано, что утверждение о том, что «локально постоянная функция постоянна» эквивалентно аксиоме Дедекинда, то следует внимательно проанализировать альтернативные ей возможности.

Аксиома Дедекинда утверждает, что если вещественные числа разбить на два класса так что:

1. Каждое число относится к одному и только к одному классу, и каждый класс содержит числа.

2.  Каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса, то - либо в первом классе существует наибольшее число         - либо во втором классе существует наименьшее число         .

Иными словами, она утверждает, что                 и то ли         совпадает с          , то ли           совпадает с         .

Альтернатива аксиоме Дедекинда заключается в существовании такого числа       , для которого         

Теперь по крайней мере ясно, что искомое невещественное расширение будет «недедекиндовым». Если аксиома Дедекинда требует разбиения на два класса и введения отношения «больше» или «меньше», то ввод альтернативной ей аксиомы требует по крайней мере разбиения на три класса и введения еще одного понятия, понятия «неразличимости», которое выражает некоторое отношение между элементами a и b, для которых верно      . Неразличимость можно обозначить      ,т.е.     если       .

Тогда полностью «неоаксиому» Дедекинда можно сформулировать так:

…Если существует вещественное число     , то некую систему чисел можно разбить на три класса так, что:

1. Каждое число относится к одному и только к одному классу и каждый класс содержит числа.
2. Каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса и в первом классе существует наибольшее число     , а во втором классе существует наименьшее число     то              

                  и для чисел из третьего  класса     и     существует  отношение неразличимости       

   так, что                       .

Данная «неоаксиома» Дедекинда является наиболее простейшим решением.

Совершенно ясно, что, задав еще одно, кроме   , вещественное число     , мы можем разбить третий класс еще на три других класса и установить еще три других новых отношения между числами уже другой, по свойствам более богатой числовой системы. Можно ли будет продолжать этот процесс до бесконечности (хотя бы с физической точки зрения) еще неизвестно.

Хотя математически тем самым мы обретаем возможность описания многокачественности непрерывности.

Первой математической моделью подобной числовой системы является «неопределенный натуральный ряд», математическое описание которого не завершено, а весьма интересные топологические вопросы, относящиеся к его теории, остаются пока открытыми.

Итак, в непрерывном случае введения понятия вероятности через производную приводит к находящимся еще в развитии вопросам основной математики и теории множеств. Поэтому нам остается рассмотреть данный способ введения интересующего нас понятия в дискретном случае и обсудить некоторые аксиомы самой теории вероятностей.

 

7. Производная и некоторые аксиомы теории вероятностей.

 

Обозначим процедуру доопределения дискретной функции              по непрерывной функции         

удовлетворяющей (*) так;                                    .

Тогда теорема, соответствующая теореме умножения вероятностей, будет выглядеть так: 

                                                                                                              

                                                                                                                     соответствует

1.                                                                                

где                                                            .

А теорема сложения вероятностей выглядит так:

 

                                                                                                                      Соответствует

2.

 

где               .

Рассмотрим и проанализируем аксиомы теории вероятностей с точки зрения вероятности как производной.

В теории вероятностей важное место занимает понятие универсального или полного множества событий   и пустого множества событий  .

Если рассматривать универсальное множество  и пустое множество  просто как определенные события, то дискретная функция, отвечающая этим событиям, будет обладать такими свойствами: