Элементы математической логики

Аналогично: конъюнкция  будет истинна тогда и только тогда, когда . Здесь, к слову, уже будет 7 различных вариантов разрыва цепи.

 

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∨В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Высказывание образовано с помощью союза «или»: А∨В (читают А или В).

Используя данное определение, находится значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению дизъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет истинным.

В математике союз «или» используется как неразделительный.

Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁ ∧ А₂ ∧…∧ Аt, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания.

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁ ∨ А₂ ∨…∨ Аt, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.  

Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ и символ

Дизъюнкцией высказываний  и  называют высказывание  (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания  и :13

 

Рис. 2.3.   – Дизъюнкция высказываний

Предположим, что в экзаменационном билете по высшей математике 2 вопроса и студент сдаёт экзамен, если ответит хотя бы на один вопрос. Рассмотрим следующие высказывания:

• – Петя ответил на 1-й вопрос;

 – Петя ответил на 2-й вопрос.

Дизъюнктивная запись  читается просто и понятно: Петя ответил на 1-й или 2-й вопрос и подразумевает три истинных исхода (см. таблицу). При этом экзамен Пётр не сдаст  в единственном случае – если «запорет» оба вопроса: 

Следует отметить, что союз «или» очень часто понимают как «исключающее или», и, более того – его зачастую так и нужно понимать! Из той же фразы о сдаче экзамена человек, скорее всего, сделает вывод, что Петя ответил только на 1-й или только на 2-й вопрос. Однако рассматриваемое ИЛИ – это не обывательское «или».

Операция логического сложения также применима для трёх и большего количества высказываний. Некоторые лояльные преподаватели задают 10-15 вопросов и ставят экзамен, если студент хоть что-то знает = ) Иными словами, логическое ИЛИ скрывает за собой связку «хотя бы на один» (и она вовсе не означает, что СТРОГО на один!).

Подавляющее большинство сайтов Интернета расположены на профессиональных серверах, которые снабжаются, как правило, двумя блоками питания. В электротехнике это называется параллельным подключением, которое как раз и моделирует правило ИЛИ – сервер работает, если исправен хотя бы один блок питания. Оборудование, кстати, поддерживает «горячую» замену, т.е. сгоревший БП можно заменить, не выключая сервер. Такая же история с жёсткими дисками – они дублируются в так называемом RAID-массиве, и более того, сам Дата-центр, где находятся серверы, обычно запитывается двумя независимыми электролиниями + дизель-генератор на всякий случай. Эти меры позволяют обеспечить максимальный аптайм сайтов.

Именно данный факт первопричина того, что в основе измерения объёма информации лежит степень двойки: 
 и т.д.

Простейшим «компьютером» является обычный выключатель – он хранит информацию в 1 бит (истину или ложь в указанном выше смысле). Центральный же процессор современного компьютера насчитывает сотни миллионов (!) транзисторов, и самое сложное программное обеспечение, самая «навороченная игра» раскладывается на множество нулей и единиц, которые обрабатываются с помощью элементарных логических операций.

 

2.2. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

 

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами. 14

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т А∧В, то, по всей видимости, Т А∧В = ТА ∩ ТВ.

Докажем это равенство.

1. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ Т А∧В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(а) ∧ В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то получаем, что каждое из высказываний А(а) и В(а) также истинно. Это означает, что а ∈ Т А и а ∈ ТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ∈ ТА ∩ ТВ. Таким образом, мы показали, что Т А∧В ⊂ ТА ∩ ТВ.

2. Докажем  обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА ∩ ТВ. По определению пересечения множества это означает, что а ∈ Т А и а ∈ ТВ, откуда получаем, что А(а) и В(а) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) ∧ В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) ∧ В(х), т.е.

а ∈ Т А∧В. Таким образом, мы доказали, что ТА ∩ ТВ ⊂ Т А∧В.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства

Т А∧В = ТА ∩ ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∨ В(х), Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е.Т А∨В = ТА ∪ ТВ. Доказательство этого равенства аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример. Решим уравнение (х – 2) • (х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х – 2 = 0 ∨ х + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решения первого и второго уравнений, т.е {2}∪{-5} ={-5, 2}.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

А∩В = {х\ х ∈А ∧ х∈В }, А∪В = {х\ х ∈А ∨ х∈В }, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.

С введением понятия конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм появились условия для рассмотрения вопросов, связанных с решением определенного вида задач, так называемых задач на распознавание объектов.

В задачах на распознавание объектов требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит.

Рис. 2.4.   – Пример 1. «Установите, какие из фигур являются квадратами, а какие нет»

Решают такие задачи, используя определение соответствующего понятия. При этом важно понимать, что если понятие а определено через родовое понятие с и видовое отличие Р, то его объем А можно представить в таком виде: А = {х\ х ∈С и Р(х) } Эта запись показывает, что характеристическое свойство элементов, принадлежащих объему понятия а, представляет собой конъюнкцию двух свойств:

1) принадлежности  объекта х объему С родового  понятия (х ∈С);

2) свойства  Р(х).

Пример 2. «Выяснить, в каком случае луч ВD является биссектрисой угла АВС».

Воспользуемся таким определением биссектрисы угла: «Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам». Из него следует, что для того, чтобы луч был биссектрисой угла, он должен обладать двумя свойствами: «выходить из вершины угла» и «делить этот угол пополам».

А D С А D С

а)                                                                     б)

Рис. 2.5.   – Луч ВD

Луч ВD на рисунке а) не является биссектрисой угла АВС, поскольку он не делит данный угол пополам. Луч ВD на рисунке б) является биссектрисой угла АВС, поскольку он делит данный угол пополам и выходит из вершины угла.

Если видовое отличие представляет собой конъюнкцию свойств, т.е. Р = Р₁∧Р₂∧…∧Рn, то распознавание проводится по следующему правилу: проверяют поочередно наличие у объекта каждого из свойств Р₁, Р₂, …, Рn; если окажется, что он не обладает каким-либо из этих свойств, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р; если же окажется, что все свойства Р₁, Р₂, …, Рn присущи данному объекту, то заключают, что объект обладает свойством Р.

Если видовое отличие представляет собой дизъюнкцию свойств, т.е. Р = Р₁∨Р₂∨…∨Рn, то распознавание проводится по следующему правилу: проверка проводится до тех пор, пока не будет установлено, что хотя бы одно из свойств присуще данному объекту, на основании чего заключают, что объект обладает свойством Р. Если окажется, что он не обладает ни одним из свойств Р₁, Р₂, …, Рn, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р.

Краткие выводы по второй главе

 

Таким образом, конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∧В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Дизъюнкцией высказываний  и  называют высказывание  (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания  и .

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т А∧В, то, по всей видимости, Т А∧В = ТА ∩ ТВ.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∨ В(х), Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е.Т А∨В = ТА ∪ ТВ.

С введением понятия конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм появились условия для рассмотрения вопросов, связанных с решением определенного вида задач, так называемых задач на распознавание объектов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Теоретический анализ учебно-методических, источников по проблеме исследования «Элементы математической логики. Коньюнкция и дизъюнкция высказываний и выказывательных форм» позволяет заключить следующее:

1. Рассмотрев основные понятия элементов математической логики, можно сделать вывод о том, что математическая логика - это анализ методом рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т. е. математическая логика, исследует соотношения между основными понятиями математики, на базе которых доказываются математические утверждения. Простейшую из формальных логических теорий называют алгеброй высказываний, поэтому начнем знакомство с элементами математической логики с такого понятия, как высказывание, которое лежит в основе логико-математической теории дискретной математики. Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

2. Рассмотрев логические функции одной и двух переменных, следует отметить, что значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных - или, как это иначе называют, наборов входных переменных - обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.

3. Изучив коньюнкцию и дизъюнкцию высказываний, можно заключить, что они состоят в следующем: конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∧В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно. Дизъюнкцией высказываний  и  называют высказывание  (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания  и

4. Изучив коньюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, можно констатировать, что они проявляются следующим образом: конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т А∧В, то, по всей видимости, Т А∧В = ТА ∩ ТВ.