Элементы математической логики

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В повседневной жизни процесс вывода заключений происходит в большей степени подсознательно, интуитивно, в соответствии с накопленным индивидуальным опытом и, поэтому в существенной степени может иметь субъективный характер. Выводы или суждения, сделанные одним человеком в тех или иных ситуациях, могут частично или полностью не совпадать с выводами и заключениями другого индивидуума.

Термин «логика» происходит от греческого слова логос, что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие». Логика (или формальная логика) как наука изучает мышление. Но мышление изучается не только логикой, а и различными другими науками: психологией, физиологией, кибернетикой, педагогикой и т. д. Каждая из них изучает какую-то одну из сторон сложного процесса мышления. Логика изучает формы рассуждении, отвлекаясь от их конкретного содержания; устанавливает, что из чего следует, ищет ответ на вопрос: как мы рассуждаем?

Актуальность исследования состоит в том, что в, все возрастающее число задач научной, технической и технологической направленности требует от нас однозначного принятия решений или однозначного вывода заключений в соответствии с исходным набором посылок. К числу практически важных задач «логики» относится вывод или построение заключения на базе определенных правил в соответствии с исходными посылками.

В работах математиков А.Н. Колмогорова1, Л.П. Стойлова2, A.M. Пышкало3 и др. освещены принципиальные вопросы элементов математической логики, коньюнкции и дизъюнкции высказываний и высказывательных форм.

Объект исследования – математическая логика.

Предмет исследования – элементы математической логики, коньюнкция и дизъюнкция высказываний и высказывательных форм.

Цель исследования: изучить элементы математической логики, коньюнкции и дизъюнкции высказываний и высказывательных форм.

Для реализации поставленной цели был сформулирован следующий круг задач:

• рассмотреть основные понятия элементов математической логики;
• рассмотреть логические функции одной и двух переменных;
• изучить коньюнкцию и дизъюнкцию высказываний;
• изучить коньюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм;

Гипотеза: предположим, что применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач.

Методами исследования были определены следующие: теоретический анализ, синтез, сравнение, конкретизация, обобщение учебно-методических, научных, справочных источников по проблеме исследования

Практическая значимость исследования состоит в том, что в процессе работы были получены навыки проведения самостоятельного учебного исследования, что способствовало формированию общих компетенций (ОК), направленных на осознание сущности и социальной значимости профессии (ОК 1), осуществление поиска и использования информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач (ОК 4), овладение ИКТ в профессиональной деятельности (ОК 5).

Структура работы состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы.

Во введении обосновывается актуальность, параметры исследования.

В первой главе рассматриваются элементы математической логики.

Во второй главе описаны коньюнкция и дизъюнкция высказываний.

В третьей главе описаны коньюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.

В заключении приведены основные выводы исследования.

Список использованных источников содержит десять наименований официальных источников.

Глава 1. Элементы математической логики

 

1.1 Основные  понятия элементов математической  логики

 

Математическая логика - это анализ методом рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т. е. математическая логика, исследует соотношения между основными понятиями математики, на базе которых доказываются математические утверждения. Простейшую из формальных логических теорий называют алгеброй высказываний, поэтому начнем знакомство с элементами математической логики с такого понятия, как высказывание, которое лежит в основе логико-математической теории дискретной математики. 4

Алгебра логики (логика высказываний) - один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях высказываний. 5

Высказывание - это термин математической логики, которым обозначается предложение какого-либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого лишь в связи с его истинностью. 6

«Земля — планета солнечной системы.»	Истина
«2+8<5»	Ложь
«Всякий квадрат есть параллелограмм.»	Истина
«Каждый параллелограмм есть квадрат.»	Ложь

Рис. 1. 1.   – Примеры высказываний

Приведем примеры, предложений не являющихся высказываниями:

«Посмотрите в окно.»

«Который час?»

«2x+7>12»

Отличительным признаком любого высказывания является его свойство быть истинным или ложным, а этим свойством три вышеприведенных предложения не обладают.

Используя простые высказывания, можно образовывать сложные, или составные, высказывания, в которые простые входят в качестве элементарных составляющих. В образовании сложных высказываний используются слова: и, или, тогда и только тогда, когда (в том и только в том случае), если …, то …, нет.

Рассмотрим несколько примеров сложных высказываний: 7

«Если идет дождь, то солнце не светит.»

« Если ветер дует, то нет дождя.»

Основная задача логики высказываний заключается в том, чтобы на основании истинности или ложности простых высказываний определить истинность или ложность сложных высказываний.

Простые высказывания называть логическими переменными и обозначать большими буквами и, если высказывание истинно, будем писать A=1, а если ложно, то A=0.

Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и функций в алгебре логики и цифрами в двоичной системе счисления. Это позволяет описывать работу логических схем ЭВМ и проводить их анализ и синтез с помощью математического аппарата алгебры логики.

Любое устройство ЭВМ, выполняющее действия над двоичными числами, можно рассмотреть как некоторый функциональный преобразователь. Причем числа на входе - значения входных логических переменных, а число на выходе - значение логической функции, которое получено в результате выполнения определенных операций. Таким образом, этот преобразователь реализует некоторую логическую функцию.

Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных - или, как это иначе называют, наборов входных переменных - обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности. Количество наборов входных переменных (Q) можно определить по формуле: 8

Q=2n, где n — количество входных переменных.

Простейшим примером логической функции является функция одной переменной:

Таблица 1

Функция одной переменной

Аргумент	Функция
X	F0(X)	F1(X)	F2(X)	F3(X)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

F0(X) –  константа 0

F1(X) – переменная X

F2(X) – инверсия X

F3(X) – константа 1

Интересной является только функция F2(X).

Функции двух аргументов. Их может быть 16.

Таблица 2

Функции двух аргументов

Аргументы		Функция
X1	X2	F0	F1	F2	F3	F4	F5		F6	F7
0	0	0	0	0	0	0	0		0	0
0	1	0	0	0	0	1	1		1	1
1	0	0	0	1	1	0	0		1	1
1	1	0	1	0	1	0	1		0	1
Аргументы		Функция
X2	F0	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14		F15
0	0	1	1	1	1	1	1	1		1
1	0	0	0	0	0	1	1	1		1
0	0	0	0	1	1	0	0	1		1
1	0	0	1	0	1	0	1	0		1

 

Если у функции 3 аргумента, то число возможных функций возрастает до 256, поэтому более сложные логические функции задаются с помощью простых функций одного или двух аргументов. Для выражения сложных логических функций используют более простые, и оказывается, что можно использовать не все элементарные функции, а только часть.

 

2. Логические функции одной и двух переменных

 

Логическое умножение (conjunctio - лат. связываю). Соединение двух простых высказываний A и B в одно составное с помощью союза «и» называют логическим умножением или конъюнкцией, а результат операции — логическим произведением. 9

Указание о логическом перемножении простых высказываний A и B обозначается так:

Таблица 3

Логическое умножение

A	B	A*B
Минск является столицей Белоруссии	В Минске проживает 1543 тыс. человек	Минск является столицей Белоруссии и в Минске проживает 1543 тыс. человек

В русском языке в качестве операции «логическое умножение» помимо союза «и» используются союзы «но» и «а».

Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных конъюнкцией. только если

Таблица истинности конъюнкции имеет следующий вид:

Таблица 4

Таблица истинности конъюнкции

A	B	A*B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

Следующие логические законы можно назвать свойствами конъюнкции: 10

1. Закон противоречия.
2. Закон равносильности (идемпотентности, idem – лат. тот же самый; potens – лат. сильный)
3. Закон исключения констант