Все элементы второй строки умножим на -16 3/7 и складываем с элементами третьей  строки:

     Ранг  матрицы системы равен: r(A) = 2; ранг расширенной матрицы (вместе со столбцом свободных членов) r(A₁)=3, т. е. r(A)≠r(A₁); следовательно система уравнений несовместна, т. е. не имеет решений.

 

5. Метод Крамера.

     Решить  систему линейных уравнений методом  Крамера. 

Решение:

     Рассмотрим  систему 3-х линейных уравнений с  тремя неизвестными:

     Определитель  третьего порядка, соответствующий  матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется  определителем системы.

     Составим  ещё три определителя следующим  образом: заменим в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

     Тогда можно доказать следующий результат.

      Теорема (правило  Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

     Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет  единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен  нулю, то система либо имеет бесконечное  множество решений, либо не имеет  решений, т.е. несовместна. 

- 331

     Определитель  системы не равен нулю, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. 
 
 
 
 

 

     Найдем  решение системы уравнений: 
 
 

 

6. Матричные уравнения

     Решить  матричное уравнение, вычисляя обратную матрицу, сделать проверку. 

Решение:

     Матрицы дают возможность кратко записать систему  линейных уравнений. Пусть дана система  из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

      Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть  дана система из 3-х уравнений  с тремя неизвестными:

      Рассмотрим матрицу системы

и матрицы  столбцы неизвестных и свободных  членов

.

     Найдем  произведение

т.е. в  результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему  можно записать в виде

 или короче A∙X=B.

     Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это  уравнение называют матричным уравнением.

     Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение  решается следующим образом. Умножим  обе части уравнения слева  на матрицу A-1, обратную матрице A:

.

     Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

     Заметим, что поскольку обратную матрицу  можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно  решать только те системы, в которых  число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A^-1B.

     В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A^-1.

      

     Вычислим  обратную матрицу А^-1.

     Определитель  матрицы 
 

     Система совместна и имеет единственное решение.

     Вычислим  союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Союзная матрица .

     Транспонируя  союзную матрицу, находим к матрице  А присоединенную матрицу.

     Присоединенная  матрица  .

     Вычислим  обратную матрицу по формуле: . Получим следующий результат:

     .

     Найдем  X = B∙ A^-1, выполнив умножение матриц B∙ A^-1.

     Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.

     Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована. 

     Вычислим элементы матрицы |Х|:

     x_1,1 = b_1,1 ∙ a_1,1 + b_2,1 ∙ a_1,2 + b_3,1 ∙ a_1,3

     x_1,2 = b_1,2 ∙ a_1,1 + b_2,2 ∙ a_1,2 + b_3,2 ∙ a_1,3

     x_1,3 = b_1,3 ∙ a_1,1 + b_2,3 ∙ a_1,2 + b_3,3 ∙ a_1,3 

     x_2,1 = b_1,1 ∙ a_2,1 + b_2,1 ∙ a_2,2 + b_3,1 ∙ a_2,3

     x_2,2 = b_1,2 ∙ a_2,1 + b_2,2 ∙ a_2,2 + b_3,2 ∙ a_2,3

     x_2,3 = b_1,3 ∙ a_2,1 + b_2,3 ∙ a_2,2 + b_3,3 ∙ a_2,3 

     x_3,1 = b_1,1 ∙ a_3,1 + b_2,1 ∙ a_3,2 + b_3,1 ∙ a_3,3

     x_3,2 =  b_1,2 ∙ a_3,1 + b_2,2 ∙ a_3,2 + b_3,2 ∙ a_3,3

     x_3,3 =  b_1,3 ∙ a_3,1 + b_2,3 ∙ a_3,2 + b_3,3 ∙ a_3,3