ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ  ЭКОНОМИКИ  И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ  СВЯЗЕЙ 

  
 
 

Контрольная работа

 
по  дисциплине:  «Линейная  алгебра»

 
 
 
 
 
 
 
 

                                        Выполнил:

                                        Воропаева Екатерина Андреевна

                                        ^(Ф.И.О.)

                                        2010-З-ФК-1

                                        ^{(номер  группы)}

                                        Вариант № 3 

                                        Проверил

                                        преподаватель:

                                        Кирютенко Юрий Александрович 
 
 

Ростов  – на - Дону

2010 

Оглавление

1. Комплексные числа. 3

2. Элементы аналитической геометрии. 4

3. Вычисление определителей. 6

4. Метод Гаусса. 8

5. Метод Крамера. 10

6. Матричные уравнения 12 
 

 

Решение контрольной работы

Вариант № 3

1. Комплексные числа.

1.3. а) Вычислите:  .

Решение:

     Используя следующие правила:

       

     выполним  вычисления 

1.3. б) Решите уравнение:

,

где

Решение:

     Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное  число. Приведя его к виду , получаем уравнение равносильное данному: . Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:  
 

Ответ: .

 

2. Элементы аналитической  геометрии.

     Треугольник задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН.

     A(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).

Решение:

     Выполним  чертеж:

     Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения  прямой, проходящей через две точки  А₁(x₁, y₁) и  
А₂(x₂, y₂): 

подставив поочередно в формулу (1) попарно  координаты точек А и В, В и С, А и С.

     Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1): 
 
 
 

     Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1) b C(4,-2): 
 
 
 

     Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и C(4,-2): 
 
 
 
 

     Для определения уравнения медианы  ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами  нахождения координат середины отрезка  А₁А₂ (А₁(x₁, y₁) и А₂(x₂, y₂)): 
 

где х₁, у₁ – координаты точки А (1, 7);

х₂, у₂ – координаты точки С (4, -2).

     Координаты  точки М: 
 

     Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).

     Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив  в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5). 
 
 
 

     Уравнение медианы ВМ:  

     Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения  прямой, проходящей через данную точку  М₁ (x₁, y₁) перпендикулярно к данной прямой y = ax + b: 

подставив в нее координаты точки С(4,-2) и данные из уравнения прямой АВ Получим: 
 

     Уравнение высоты СН:

3. Вычисление определителей.

 

Решение:

     Используя  алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:

     Разложим  определитель матрицы по элементам  первого столбца, имеем:

     Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.

     Во  второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому  удобно разложить определитель матрицы  по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.

     В новом определителе третьего порядка  во второй строке только один элемент  не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат: 

     Определитель  матрицы равен 4.

 

4. Метод Гаусса.

     Найти решение системы линейных уравнений методом Гаусса. 

Решение:

     Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

     Метод Гаусса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

     Сформируем  исходную матрицу:

     Разделим  все элементы первой строки матрицы  на 7, получим:

     Умножим все элементы первой строки матрицы  на 4 и просуммируем с элементами второй строки, результат вычислений запишем во вторую строку:

 

     Умножим все элементы первой строки матрицы  на 9 и просуммируем с элементами третьей строки, результат вычислений запишем в третью строку:

     Все элементы второй строки разделим на 9 6/7: