Интегралы, зависящие от параметра

[с; d] и

■

В некоторых  случаях бывает необходимо изменить порядок интегрирования, когда и переменная х и параметр у изменяются на бесконечных

промежутках. Пусть 

 

Теорема 2.20 Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна на К. Интегралы 

 (2.23) 

оба сходятся и  являются непрерывными функциями соответственно

на [с; +∞) и [а; +∞). Тогда равенство 

 (2.24) 

справедливо при  условии существования одного из повторных интегралов.

Доказательство. Допустим, что существует левый из интегралов в равенстве (2.24). Покажем, что в таком случае существует и правый интеграл, и что они равны. Для этого достаточно установить, что для любого

с > 0 найдётся А такое, что для любого А> А будет выполняться неравенство 

(2.25) 

Преобразуем левую  часть (2.25). Так как для интеграла 

 

выполнены условия теоремы Дини (теорема 2.17), то он равномерно сходится на любом сегменте [а; А], следовательно по теореме 2.18

Поэтому

 

где число С  пока не определено.

Выберем > О и оценим оба последних интеграла. Так как

сходится, найдётся С такое, что для любого С> С будет иметь место

неравенство

Но тогда, ввиду неотрицательности функции f (x, y), каково бы ни было

А ≥ а, и

 (2.26) 

Выберем и зафиксируем  С > С и оценим первый интеграл. По теореме Дини сходится равномерно на отрезке [с; С],

поэтому существует такое, что если А> , то для любого у [с; С]

Поэтому

 (2.27) 

Итак, если А> , то, используя (2.26), (2.27), получаем:

 

Оценка (2.25) получена, следовательно, теорема доказана. ■ 
 
 
 
 
 
 
 

2.5 Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α: 

 

Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке , то функция

 

Является непрерывной  функцией на отрезке  . Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке :

Выражение, стоящее  справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:

Эта формула  показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра  α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Пример 2.14 Показать, что интеграл сходится, и вычислить этот интеграл.

 ∆ Обозначим  Тогда

 

Так как  существует конечный

то интеграл J существует и сходится (по определению), причем .▲

Пример2.15 Вычислить интеграл 

Неопределенный  интеграл от подынтегральной функции  не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко  вычислить:

  (α>0).

Интегрируя это  равенство в пределах от α=a до α=b, получим

Меняя порядок  интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в  следующем виде:

Откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем

■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3Литература 

1. Тер-Крикоров А.М., Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. -2-е  изд, М.:Физмалит: Лаборатория Базовых  Знаний, 2003.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов.т.2,13-е изд. М.: Наука , Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Части 1,2, М.: Наука, 1971, 1973.
4. Рудин У., Основы математического анализа, М.: Мир, 1966.
5. Зорич В.А., Математический анализ. Части 1,2, М.: Наука, 1981, 1984.
6. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа. Тома 1.2, М.: Наука, 1968.