Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b]

при любом О<δ<δ-a, то

сходится тогда и только тогда, когда такое, что а’, а” : а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие

Это утверждение  доказывается так же, как и аналогичное  утверждение

для несобственных  интегралов первого рода. Так же вводится понятие

абсолютной и  условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса. 

                                

           Интегралы в смысле главного значения 

Определение 2.5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл

не  существует. Тогда, если существует , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом 

(

p.)

Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]\{с} → R, а <с < b, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а;  с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но не существует. Тогда, если существует

 то он  называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом

(

p.)

Пример 2.6 Рассмотрим

Решение. Это  — расходящийся интеграл второго  рода, поскольку показатель степени        p =1. Однако

Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и

(

p.) ■

Пример 2.7 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~ . Но

  Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и ( p.) ■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2 Собственные интегралы, зависящие от параметра 

      Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х  [а; b], у Y}. Предположим, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7 Функцию

 (2.1)

определённую  на множестве Y при  описанных выше условиях, будем

называть  собственным интегралом, зависящим от параметра.

  

    Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d] R, и введя обозначение

             

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х 

[а; b], у [с; d]}. 

Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b]. 

Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое [с; d] и

любое > 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и

, то будет выполняться неравенство 

      Прямоугольник П — компактное множество в , поэтому по теореме

Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному >0  можно указать такое > 0, что если 

 

то будет выполняться  неравенство 

 

Положим х' = х"= х, у' = у, у" = . Тогда 

 

Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от ) непрерывность функции I(у) на

отрезке [а; b].■ 

Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство 

 (2.2) 

Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство

же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-

ному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует

, который может быть сведен к повторному в любом порядке. ■ 

Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство 

  (2.3)

Доказательство. Так как непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у [с; d] можем написать равенство 

 (2.4)

    Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-

Лейбница. 

      Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства

(2.4). Тогда равенство  (2.4) примет вид: 

 (2.5)

    По  теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по

теореме о производной  интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на

отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем: 

что и требовалось. ■

    Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у [с; d],

функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и [с; d] выполняется

а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл 

  (2.6) 

Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у),

b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством

(2.6), непрерывна на [с; d].

 

Доказательство. Пусть y [с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.

     (2.7) 

Здесь интегралы  обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый

из них в  отдельности.

     Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида

2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому 

 

      Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что

П. Но тогда 

 

А так как  функция b(у) непрерывна на [с; d], то при

, поэтому

 

    Совершенно аналогично доказывается, что и 

Таким образом, 

что и требовалось  доказать. ■ 

Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и

имеет на нём непрерывную частную производную , а функции а(у) и

b(у) дифференцируемы  на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле

     (2.8) 

Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть

дифференцируемость  в каждой точке промежутка, то возьмём на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое

правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную.

   Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы

интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.

Поэтому

     (2.9)

      Теперь  докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что .)

       По определению производной 

    Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству

определённого интеграла найдётся с = с(у), , такое, что

  . Но тогда

 

так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу

дифференцируемости  функции b(у). Итак, 

. (2.10)

       

          Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7)

дифференцируемо и что 

.    (2.11) 

        Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке , значит, и функция I(у) дифференцируема в точке и

.     (2.12) 

      Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)),

получим представление (2.8) в точке .■

Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.

декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя.

               Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2.8 Рассмотрим

Решение. Подынтегральная  функция на прямой у = х терпит разрыв.

Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.

1. Пусть у≤ 0. ;

2.Пусть о<  у <1. I(у)=

3.Пусть у ≥ 1.

      Нетрудно  убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы

слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. ■

    Пример 2.9 Рассмотрим  

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую

на отрезке [0; 1] функцию.