Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические действия над ними

К настоящему  времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного ( ТФКП).

 

 

 

2. Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические  действия над ними

 

2.1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа- это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:  (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2 ,y1+y2);   (1)

                       (x1,y1) (x2,y2)=(x1 x2 – y1 y2, x1 y2+x2y1)   (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначают символами Rez и Imz, действительный и мнимый, соответственно.

Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2)  называются равными только в том случае, когда x1=x2, y1=y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)      (3)

Числа вида (x,0)  отождествляются с действительными  числами х ,т.е. (х,0)= х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i , т.е. (0,1)=i, причем i2= -1,равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного  числа z=(x,y).

Операция сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а)z1+z2=z2+z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б)z1z2=z2z1

в)z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3

д)(z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и  z2=x2+iy2 определяют,  причем однозначно, их разность  z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений  z1+z2=z1 и zz2=z1(при z20). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляют по формулам:

z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2),   (4)

z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22)+i((y1x2-x1y2)/(x22+y22))   (5)

Данное определение можно выразить и в других терминах ,а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2 ; деление, как действие ,обратное умножению : z=z1(z2-1), где z2-1 –число, обратное для z2 (z20). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество  комплексных  чисел (С) является расширением множества  R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);

- комплексные числа можно  складывать, вычитать, умножать и  делить по правилам, которым подчиняются  действительные числа, заменяя в  итоге (или в процессе вычислений ) i2= -1.

2.2 Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрические действия над ними

  Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла(не принято никакого соглашения).

  Если на плоскости введена декартова система координат Оxy, то всякому комплексному числу z=x+iy  может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(x,y) с абсциссой «x»  и ординатой «y», а также радиус- вектор . При этом говорят, что точка М(x,y) ( или радиус –вектор ) изображает комплексное число z=x+iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось Оy –мнимой осью.

  Число ,равное длине вектора, изображающего комплексное число , т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy  и обозначается символом .

  Угол   между положительным направлением оси Оx и вектором , изображающим комплексное число z=x+iy  0,называется его аргументом.

   Из определения видно, что каждое комплексное число (, имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга  на целые кратные 2 и обозначаются единичным символом Argz (для  числа z аргуме определяется, не имеет смысла).

  Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следуе повернуть действительную ось (ось Ох) до совпадения ее направления с направлением с радиус-вектора точки М, изображающей число z (при  этом в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z есть всякое решение системы уравнений ; . Значение Argz при условии  называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значение , выделяемое неравенством .

   Между алгебраическими x,y и геометрическими r, характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами следовательно, . Последнее выражение, т.е.    (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z может быть представлено в тригонометрической форме. Для практики число вида удобнее записывать короче, с помощью символа   (7). Доказанное для любых чисел (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме   (8)

2.3. Операция сопряжения комплексных чисел

Для данного комплексного числа число = (отличающиеся от z лишь знаком при мнимой части) называются сопряженным и обозначается символом .Переход от числа z к числу называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными ( друг к другу), т.к. )=z. Из определения следует,  что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 2)

 

Отсюда следует, что =, argz= -argz. Кроме того ,

 

А также : ; ; ;P(z)=P(z), где P(z) – любой многочлен с действительными коэффициентами ; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)),  где P и Q –многочлены с действительными коэффициентами.

2.4. Извлечение корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа есть действие , обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное  число) и данному показателю степени (показатель степени корня) находят основание  (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения для  нахождения z. В множестве комплексных действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель степени корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения , которые можно найти по формуле :

==,где знак «+»  в скобках берется при «-» - при

2.5. Геометрический смысл алгебраических операций

Пусть даны два комплексных числа z1 и z2. В результате сложения этих чисел получается число z3, изображаемое вектором ОС диагонали параллелограмма ОАСВ ( по правилу параллелограмма сложения векторов): .

 

Рис.3

Разность (z1-z2)  данных чисел , соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора , изображающего число z1  и вектора OD= - OB,противоположного вектору               ( симметричного ему относительно начала координат): -. Таким образом, разности ( данных  чисел соответствует вектор другой диагонали параллелограмма ОАВС.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

2.6.Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа   и . Перемножая их получим Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

2.7.Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

 Если требуется разделить то выполняем следующие преобразования: (, т.е. при делении двух  комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

2.8.Возведение в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

 Умножая число само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения . Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводится его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимает вид   (9) Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

2.9. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

 Пусть ,. Решаем уравнение для вычисления =. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу получаем: =  (причем Таким образом, , где - арифметический корень ,а т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел  имеет «n» различных значений (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел и постоянна и равна : -=. Отсюда следует, что все значения располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного n- угольника с центром в начале координат.

 

 

3.Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений  3-ей и 4-ой степеней

 

     Формула Кардано. Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени:   (общее уравнение 3-ей степени   сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены это уравнение примет вид : , где p и q- новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть - какой либо корень уравнения (11*). Представим его в виде , где - неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим 12). Выберем теперь ,так  чтобы . Такой выбор чисел возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений :

 а значит, существуют.

 : , а т.к. еще , то получаем систему: из которой по т.Виета следует, что являются корнями уравнения . Отсюда находим :                означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11*) выражаются формулой +  

+ , причем для  каждого из трёх значение первого корня соответствующее значения второго корня нужно брать так, чтобы было выполнено условие . Полученная формула называется формулой Кардано.

Метод Феррари для уравнения 4-ой степени. Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x4+ax3+bx2+cx+d=0      (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у4+ру2+qy+r=0   (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме                            (y2+p/2+α)2-[2α(y2+p/2)+α2-qy+p2/4-r]=0                 (15)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках       2αy2-qy+(αp+α2+p2/4-r)  стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы           q2-8α(αp+α2+p2/4-r)=0, или 8α3+8pα2+8α(p2/4-r)-q2=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

 

 

 

4.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел

1. Вычислить: ii2i3…i10=?

Решение: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11∙10/2=i55=ii54=i(i2)27=i(-1)27=-i.

2. Найти действительные  решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i 

3x-5y=4  x=8,

x+2y=16   y=4.

Ответ: z=8+4i.

3. Доказать, что (а2+1)(b2+1)(c2+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, что а2+1=|a+i|2, тогда имеем: (а2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)=         =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.

4. Доказать тождество:

(2x-z)2+(2x-z)2=2Re(z2).

Доказательство:

а)(2x-z)2+(2x-z)2=4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x(z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2-

-2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re(z2).

      б) 2Re(z2)=2Re(x+iy)2=2Re(x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).

5. Доказать тождество  |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)= (z1+z2)( z1+z2)+( z1-z2)( z1-z2)=2 z1 z1+2 z2 z2=2(|z1|2+|z2|2).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

 

 

5.Заключение

Проанализировав множество математической литературы, я изучила тему «Комплексные числа».

Комплексные числа, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает.  
Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.  
Хотя комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики. 
В данной курсовой работе было раскрыто понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным.

Материал, изложенный в этой работе, может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе. Я считаю, что достигла своей цели и выполнила поставленные перед собой задачи.

 

 

6.Использованная литература

1. Курош А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
2. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры». М., «Наука»,1968.
3. Сидоров Ю.В.,Федорюк М.В., Шабунин М.И. «Лекции по теории функций комплексного переменного». М., «Наука»,1989 
4. Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
5. Яглом И.М. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.