Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические действия над ними

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

Комплексные числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

 

 

Научный руководитель:

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Введение……………………………………………………………………   3

1.История возникновения  комплексных чисел…………………………...5                                        

2.Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические  действия над ними…………………………………………………………………………10                                                                                                               

2.1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами……………………………………………………………………...10

 2.2 Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрические действия над ними………………………………………………………….12                                                                                                       

2.3. Операция сопряжения  комплексных чисел………………………….14                                                                   

2.4. Извлечение корня из комплексного числа…………………………. .15                                      

2.5. Геометрический смысл алгебраических операций…………………..15                           

2.6. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме……16        

2.7. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме……… .16             

2.8.Возведение в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………. .17                                                                          

2.9. . Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………...17                                                                         

 3. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений  3-ей и 4-ой степеней…………………………………………………………...18                                                                                          

4.Дополнительные задачи  и упражнения, связанные с использованием  комплексных чисел………………………………………………………….20                                                                                      

5.Заключение………………………………………………………………...22  

6. Использованная литература……………………………………………...23                                                                                             

 

 

 

 

 

 

                                                                              «Помимо и даже против воли того или

 другого математика, мнимые числа снова и

 снова появляются  на вкладках, и лишь

 постепенно  по мере того как обнаруживается

 польза от  их употребления, они получают  более

 и более  широкое распространение» Ф. Клейн.

 

Введение

 

   Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ним вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в программе. В общем виде изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты  с помощью арифметических операций и извлечения корней.

 Именно, если дано:

а) Линейное уравнение ax+b=0,где a≠0,то x= – единственный корень;

б) Квадратное уравнение ax+bx+c=0,где a,b,c –действительные числа,a≠0,то  , при этом число корней зависит от величины D=b2-4ac,называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

  При D>0,два действительных корня,D=0 – один двукратный корень (или, что то же ,два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.

  Обычно из уравнений более высоких степеней в курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические,…Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны),в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.  Выбор темы курсовой работы“комплексные числа и работа с ними ”  представляется актуальной, так как в школьном курсе они не изучаются, хотя комплексные числа имеют широкое применение в других разделах математики.

   Объектом  изучения в данной работе является развитие комплексных чисел в разных разделах математики.

 

    Предметом изучения стали теоретические положения  о комплексных числах.

    Цель данной курсовой работы состоит в том, чтобы рассмотреть возникновение понятия комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении уравнений.

 

   Задачи  данного исследования:

Ознакомится с историей возникновения и развития комплексных чисел

1.Дать понятие комплексного числа и рассмотреть свойства комплексных чисел

2.Изучить действия с комплексными числами

3.Решить задачи на применение комплексных переменных

4.Сделать выводы о проделанной работе

 

 

1.История возникновения комплексных чисел

 

 

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как .Наряду с натуральными числами применяли дроби- числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических  расчетах дроби  применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения  всегда выражается или в виде натурального числа , или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «…элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорийцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта , не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение  отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками  за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик  Диофант, знавший уже правила действия  над ними, а в  VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное , а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя : нет такого числа x, чтобы x2= - 9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида x3+px+q=0 кубические  и квадратные корни: +

Это формула безотказно действует в случае , когда уравнение имеет один действительный корень (x3+3x-4=0), а если оно имеет три действительных корня (x3-7x+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4- ой степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-ой степени. Но Руффини  (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков  доказал, что буквенное уравнение пятой степени  x5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0 нельзя решить алгебраически; точнее :нельзя выразить его корень через  буквенные величины a,b,c,d,e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечения корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение , степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-ой степени имеет (если рассматривать комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаях), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал , что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел ,имеет решения вида x= 5 , y= 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -a .

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными», считал их бесполезными  и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить  ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой- нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций  над такими числами , вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик  и философ Р.Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л.Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа ( мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь , сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т.д. , образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности  дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней  n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле  английского математика А.Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Л.Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: =cos x + i, которая связывала воедино показательную функцию с геометрической. С помощью формулы Л.Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что = -1. Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ  уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными  коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я.Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П.Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы, иероглифы нелепых количеств» (Л. Карно).

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой  М(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что  еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком  истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом  и число z принимает  вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом  z и обозначают ArgZ. Заметим ,что если z=0, значение ArgZ не определено, а при z0, оно определено с точностью до кратного 2. Упомянутая ранее формула  Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа  полезны во многих вопросах ,где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости , задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел – чисел с несколькими «мнимыми» единицами .  Такую систему вида где i2=j2=k2= -1, построил в 1843 году ирландский математик У.Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действия над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение  не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, а . Гиперкомплексные числа не являются темой моей курсовой работы, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н.И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости , М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н.Н Богомолов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.