Формулы (шпаргалка)

2)подстановки  – некоторое выражение заменяется  новой переменной для того  чтобы интеграл относительно  новой переменной стал табличным. В результате необходимо вернуться к первоначальным переменным.

3)интегрирование по частям:

Формула: òu*dυ=uυ-òυ*du

• В интегралах вида:

òP(x)*e^ax*dx

òP(x)*cosax*dx

òP(x)*sin ax dx, где P(x)-многочлен от x,a-любое число

Полагают:

u=P(x)

dυ=всё остальное

• В интегралах вида:

òP(x)* ln(ax)dx

òP(x)*arcsin(ax)dx

òP(x)*arcos(ax)dx

òP(x)*arctg(ax)dx

òP(x)*arcctg(ax)dx

Полагают:

dυ= P(x) dx

u- всё остальное

• В интегралах вида:

ò e^ax*cosbx dx

ò e^ax*sinbx dx

Полагают:

u- e^ax

dυ=всё остальное

27.формула  Ньютона-Лейбница - эта формула применяется для точного вычесления опред. интеграла: òf(x)dx=F(x)│=F(b)-F(a)

28.Методы вычисления определённого интеграла:

• Табличное интегрирование
• Метод подстановки: в результате возвращаться к первоначальной переменной не нужно потому что перечисляются новые пределы интегрирования
• По частям

29. метод прямоугольников  для приближённого  вычисления интегралов:

• òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*(y₀+y₁…y_n-1)
• |δ_n|=< M₁*(b-a)²/2n.,где M₁-макс|f’(x)|

30.Метод  трапеций:

• òf(x) dx=SaABb≈(b-a)/n*( y₀+2y₁+2y₂…2y_n-1+ y_n)
• |δ_n|=<M₂*(b-a)³/12n². где M₁-макс|f’(x)|

31.Применение  опред. Интегралов  в физике:

• Нахождение пути при прямолинейном движении:

S=òV(t)*dt, где V(t) – закон изменения скорости, t ε[a;b]

• Вычисление работы, силы, произведённой при прямолинейном движении тела

A=òF(x)dx, где F(x) – закон изменения силы, a и b – крайние положения тела.

32.Применение  определенных интегралов  в геометрии:

• Площадь криволинейной трапеции:

S=òF(x)*dx

• S фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f(x) y=g(x) и прямыми x=a x=b:

S=ò(f(x)-g(x))dx

• Длина дуги плоской  кривой:

L= ò Ö1+(f’(x)² dx, где y=f(x) – уравнение кривой x ε[a;b]