Формулы (шпаргалка)

1. Предел  функции:Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.

Lim f(x) =A

^x->x0

2. Теоремы о пределах:

• Limc=c,где с-это число
• Lim(f(x)+-g(x))=lim f(x)+-lim g(x)
• Lim(f(x)*g(x))=lim f(x)*lim g(x)
• Lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x),где g(x)<>0
• Lim(c*f(x))=c*limf(x)
• Lim(f(x)^g(x))=(lim f(x))^{lim g(x)}
• Lim(f(g(x)))=f(lim g(x))

3.Методы нахождения пределов:

• непосредственное вычисление пределов (вместо ч подставляем ч0 и считаем что получится)
• раскрытие неопределенностей вида 0/0 (числитель и знаменатель раскладывается на множители а затем сокращают дробь)
• раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ (числитель и знаменатель делим на x в старшей степени)
• применение замечательных пределов. Lim sinx/x=1- первый зам. Предел

lim(1+x)^1/x=e; lim(1+1/x)^x=e – 2-ой зам.предел

• применение эквивалентных бесконечно малых ф-ий

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x    X - > 0

ln(1+x) ~x

e^x-1~x

a^x-1~x*lna

4. Замечательный пределы:Lim sinx/x=1 -первый зам. Предел

lim(1+x)^1/x=e; lim(1+1/x)^x=e - 2 зам. Предел

5. эквивалентные бесконечно малые ф-ии

sinx ~x

tgx~x

arcsinx~x

arctgx~x    X - > 0

ln(1+x) ~x

e^x-1~x

a^x-1~x*lna

6.Ф-ия  f(x) называется непрерывной в точке x0 если

1)ф-ия  определена в точке x0

2) существует  предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот  предел равен значению ф-ии  в точке x0

Ф-ия f(x) называется непрерывной на промежутке если она непрерывна в каждой точке этого прмежутка.

7. Условия  непрерывности ф-ии в точке

1)ф-ия  определена в точке x0

2) существует  предел ф-ии f(x) в точке x0

3)этот  предел равен значению ф-ии  в точке x0

9. Точки разрыва:Если хотябы одно из 3 условий непрерывности ф-ии в точке не выполняются, то ф-ия называется разрывной в точке x0, а сама точка x0 называется точкой разрыва

Типы  точек разрыва:

1)если  ф-ия f(x) имеет предел в точке ч0 неравный значению ф-ии в точке, то x0-называется точкой устранимого разрыва.  Lim f(x) <>f(x0)

                                                              ^{x - > x0}

2) если  сущ-ют односторонние пределы  ф-ии f(x) в точке x0, но они различные, то точка x0 называется точкой разрыва первого рода limf(x)<>limf(x)

      ^{x→x0-0     x→x0+0}

3)если  хотябы один из односторонних  пределов ф-ий f(x) в точке x0 равен бесконечности то точку x0 называют точкой разрыва 2 рода. 

Limf(x)= ∞ или limf(x)= ∞

  ^{x→x0-0                 x→x0+0} 

11. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к 0.

Правила дифференцирования:

(cf(x))’=c*f’(x);

(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

(f(x)-g(x))’=f’(x)-g’(x)

(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+g’(x)+f(x)

(F(x)/g(x))’= f’(x)*g(x)-g’(x)+f(x)/g2(x)

(F(g(x)))’=f’(g)*g(x)

12. Таблица производных:

(с)’=0

(x^α)’ = α× x^α-1

(√x)’=1/2√x

(x)’=1

(1/x)’=-1/x²

(a^x)’ =  a^x× ln a

(e^x)’= e^x

(lnx)’=1/x

(log_ax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’  = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’  = 1/cos² x

(ctg x)’  =  - 1/sin²x

(arcsin x)’  = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’  = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’  = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’  = - 1/ Ö(1+x²)

13. Вторая производная – производная от первой производной.

14.Дифференциал dy ф-ии y=f(x) называется произведения производной этой ф-ии на приращение независимого аргумента x. Dy=f’(x)*∆x

Дифференциалом  аргумента называется приращение этого аргумента.

15.для  приближенных вычислений  дифференциалом используется  формула:  

f(x0+∆x)≈f(x0)+f’(x0) *∆x

16 Нахождение монотонности:

1) найти  1 производ.

2)найти  критическую точку 1 рода-это внутрен  точки d(y) d кот. Первая произ равна 0 или не сущ

3) разбиваем  D(y) критич точками 1 пода на промежутке моннотоности.Находим знак первой производ на каждом промежутке, если y’>0,то  ф-ия возрастает,если y’<0 , то ф-ия убывает

4)если  при переходе через точку ч0  – производ сменила знак с+  на- то x0 точка максимума,если с- на +  то x0 точка мин.

17.экстемумы- это значения в точках мин и макс.

18.Выпуклось:

Кривая  наз. выпуклой вверх в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведённой в этой точке.

Вогнутость:

Кривая  наз. вогнутой вниз в точке x0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена выше касательной, проведённой в этой точке.

Алгоритм  нахождения промежутков выпуклости:

• найти вторую производную
• найти критические точки 2-го рода(внутренние точки области определения, в которых 2-ая производная равна 0 или не сущ.)
• разбиваем область определения критическими точками 2-го рода на промежутки выпуклости
• находим знак 2-ой производной на каждом промежутке, если y’’>0, то график ф-ии вверх, если y’’<0, то график ф-ии вниз.
• Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба
• Найти значение ф-ии в точке прегиба

19.Точки прегиба Если при переходе через точку x0 2- ая производная меняет знак, то x0 наз. точкой перегиба

20\21. асимптоты:

Если  точка (y;x) непрерывно перемещается по кривой так, что хотя бы одна координата точки стремится к бесконечности и при этом расстояние от точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая наз.асимптотой.

Виды  асимптот:

• Вертикальная асим., находят лишь тогда, когда есть точки разрыва области определения.

Lim f(x)= ∞, где a-точка разрыва D(y)

  ^{x - > a}

• Горизонтальная асим.

Lim f(x)= b, где b-число,b<>∞

  ^{x - > ∞}

• Наклонная асим

y=kx+b

k=lim f(x)/x, где k-число,k<>∞, k<>0,

  ^{x - > ∞}

b=lim(P(x)-kx, где b-число,b<>∞

^{x - > ∞}

22. Схема исследования ф-ии:

1)D(y),ф-ия  дробная, то знаменатель <>0

2) четность

• D(y) симметрично относительно 0

Y(-x)=y(x) => ф-ия четная

Y(-x)=-y(x) => ф-ия нечетная или ф-ия общего вида

3)пресечение  с осями координат 

• С осью ОХ:y=0
• С осью OY:х=0

4)асимптоты

5)монотонность

6)выпуклость  точки перегиба

7)график(пробный точки)

8)E(x)

23. первообразная – на промежутке, если для всех x этого промежутка выполняется равенство f’(x)=f(x).

Основное  св-во: ф-ия имеет бесконечно много  первообразной, которые отличаются друг от друга на постоянную c.

24.Интеграл – множество всех первообразных на промежутке.

Св-ва:

1)(∫f(x)*d(x))’=f(x)

2)∫c*f(x)*dx=c∫f(x)dx

3)∫(f(x)+-g(x)dx=∫f(x)dx-+∫g(x)dx

25. Таблица  интегрлов:

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

ò ax dx = ax/ln a + c

ò ex dx = ex + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x =  tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx =  arctg x + c 

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c 

26. Методы нахождения неопределенных интегралов:

1)непосред. Интегрирования – при котором интегралы сводятся к табличным путем первообразной, применения к ним основных св-в интеграла.