Дискретная задача оптимального управления

     Элементарной  проверке подлежит диагностический  параметр (параметры) каждого отдельного элемента системы. Поиск места отказа прекращается, как только при анализе  результатов очередной элементарной проверки окажется найденным отказавший элемент системы. Очевидно, что в самом неблагоприятном случае (когда отказал последний из проверяемых элемент системы) число элементарных проверок будет максимальным и равным числу элементов в системе. Достоинствами рассмотренной программы являются:

• возможность использования для новой техники, когда не накоплен опыт ее эксплуатации, и тем более - когда не накоплены статистические данные по поиску мест ее отказов;
• простота, доступность для широкого круга специалистов АТС и ЭНС.
• К недостаткам программы следует отнести:
• необходимость выполнения большого количества элементарных проверок, что требует больших затрат времени и материальных ресурсов;
• необходимость использования при поиске мест отказов помимо специалистов и КПА еще и эксплуатационной документации (технического описания, инструкции по технической эксплуатации, альбома формулярных схем и т.д.).

Несмотря  на отмеченные недостатки, "программа  по функциональной схеме" нашла у специалистов ЭНС и АТС, пожалуй, самое широкое распространение прежде всего из-за своей простоты, доступности широкому кругу специалистов(независимо от их опыта эксплуатации, в определенной степени, - от их квалификации).

2.2. Программы "вероятность-время"

      Программа "вероятность - время" может быть использована лишь тогда, когда по отказам данного типа обрудования уже накоплен и систематизирован достаточно большой опыт ее эксплуатации, и, в частности, опыт поиска места отказа. Прежде всего, по каждому элементу системы должны быть известны:

• вероятность отказа i-го элемента qi;
• время, необходимое для элементарной проверки i-го элемента T_i.

      Программа время-вероятность основана на поиске места отказа путем выполнения в "жестком" порядке (строго в порядке убывания численных значений отношения qi/ii) последовательных элементарных проверок элементов. Элементарной проверке подлежит диагностический параметр (параметры) каждого отдельного элемента системы. Результаты каждой элементарной проверки сразу же анализируются. Поиск места отказа прекращается, как только при анализе результатов очередной элементарной проверки окажется найденным отказавший элемент системы.

      Очевидно, что такая программа позволяет  в первую очередь проверять те элементы отказавшей системы, вероятность  отказа которых наибольшая, а время  на элементарную проверку - наименьшее. В результате этого общее время на выявление места отказа системы оказывается существенно меньше, чем при использовании ранее рассмотренной программы по функциональной схеме.

      Покажем это на примере системы, изображенной на рис.17, и содержащей N последовательно соединенных элементов. Один из элементов отказал, что привело к отказу всей системы.

 

Рис. 17. Схема системы из последовательно соединенных элементов

      Пусть по каждому i-му элементу системы известны численные значения вероятности его отказа q_i и времени на его элементарную проверку T_i. Для начала назначим произвольную программу поиска места отказа, (то есть произвольный порядок выполнения элементарных проверок), например, в соответствии с нумерацией элементов на рисунке.

      В этом случае математическое ожидание времени поиска места отказа составит

^{M (t}z⁾ i = q\ ^Т1 + q2 ■ ⁽т + ^т2⁾ +... + qN ■ ⁽т + т +... + т ⁾. ⁽⁵¹⁾

      Теперь  назначим второй вариант программы  поиска места отказа, отличающийся от первого варианта тем, что вначале проверяется второй элемент, затем первый, а последующие элементарные проверки выполняются в такой же последовательности, как и в первом варианте (в порядке нумерации).

      Для второго варианта программы математическое ожидание времени поиска места отказа составит

^{M (t}Z ) II = 42 ^т2 + 4i ■ ^(т2 + ^т0 + ••• + 4м ■ ^(т2 + ^т1 + ••• + ^TN )• (⁵-²)

      Если  вычесть из M(t^)_I величину M(t^)n, то после выполнения арифметических действий получим

M(t_z)i -M(t_z)ii = 42 • Т -4i • т_г. 

      Из  анализа полученной разности следует, что первый вариант программы  будет эффективнее (исходя из затрат времени на поиск места отказа) второго варианта лишь в том случае, когда 

q₂ •т₁ - 4₁ • т₂ < 0, то есть 4₂ • т₁ > 4₁ • т₂, или иначе — > — • (54) 

      Таким образом, упорядочив элементарные проверки элементов в соответствии с выражением мы получим оптимальную программу поиска места отказа, обеспечивающую минимальную величину математического ожидания времени поиска места отказа^ Правило (5^5) положено в основу программ " время-вероятность "•

      После расчета (для всех элементов) отношений 4i/r_i устанавливают порядок проверки элементов • Этот порядок соответствует порядку ранжирования отношения 4i/r_i (в порядке убывания) Программа этого типа выглядит как последовательность порядковых номеров элементов объекта в порядке их проверки •

      Рассмотрим  пример практического составления  и использования программы "время-вероятность" Пусть требуется составить программу поиска места отказа в системе, состоящей из пяти элементов (рисЛ8) То есть требуется указать оптимальный порядок проведения элементарных проверок элементов •

Рис.8 Пример пятиэлементной системы

Таблица 1

     Из  опыта эксплуатации известно, что  за 23 случая применения данной системы происходили отказы элементов, указанные в таблице 1

     Решение задачи начинается с расчета для  каждого элемента величины q_i (она определяется как отношение числа отказов элемента n к числу применения системы). Затем для каждого элемента рассчитывается величина q_i/z _i.

     По  численным значениям q_i/z_i проводим новую нумерацию элементов системы (в порядке убывания значений q_i/T_i). Эта новая нумерация указана в последней строке таблицы, и она определяет искомый порядок выполнения элементарных проверок элементов в рассматриваемой системе.

     Достоинствами программы "время-вероятность" являются:

• высокая вероятность обнаружения места отказа при выполнении первых элементарных проверок, что позволяет существенно уменьшить как время поиска места отказа, так и затраты материальных средств;
• достаточная простота реализации для исполнителей, когда известны необходимые статистические данные.

     К недостаткам данной программы следует  отнести необходимость владения информацией о статистических данных по отказам и времени их проведения из опыта предыдущей эксплуатации. Данное обстоятельство ограничивает возможность широкого использования данной программы в практике ИАС, особенно при эксплуатации новой АТ.

     3. Гибко-последовательные программы

3.1. Программы половинного разбиения

     Программа половинного разбиения является упрощенным аналогом программы по максимуму информации. Если принять допущение о равновероятности отказа каждого элемента системы (то есть q₁=q₂=...=q_i=...=q_N), то максимально информативной первой элементарной проверкой будет проверка N/2 (половины) элементов. Во второй элементарной проверке должно быть проверено N/4 элементов, в третьей - N/8 элементов, в четвертой - N/16 элементов и т.д. Таким образом, при каждой очередной элементарной проверке проверяется половина смежных элементов от того количества, которое проверялось в предыдущей элементарной проверке.

     После каждой элементарной проверки проводится анализ полученных результатов. По результатам такого анализа принимается решение о месте проведения второй и последующих элементарных проверок. Поиск места отказа прекращается, как только при анализе результатов очередной элементарной проверки окажется найденным отказавший элемент.

      Пример  практического применения программы  половинного разбиения применительно  к четырехэлементной системе  из равнонадежных элементов представлен на рис.19.

      На  данном рисунке вертикальные линии, обозначающие элементарные проверки, расставлены над и под схемой. Это необходимо для разграничения элементарных проверок, выполняемых непосредственно после проверок с соответственно положительным и отрицательным исходом (элементарной проверкой, давшей положительный исход, условно будем считать такую, если при ней обнаружен отказ, а отрицательной - если отказ не обнаружен).

      Программа половинного разбиения при сохранении достоинств программы "по максимуму информации" имеет еще одно существенное достоинство - для ее реализации не требуются количественные исходные данные (численные значения вероятности отказа каждого элемента q). Это обусловило возможность самого широкого практического применения данного вида программ при поиске неисправностей.

      Фактором, ограничивающим область применения программы половинного разбиения, является то, что она применима  далеко не ко всем техническим системам. Такую программу (равно как и программу по максимуму информации) можно применить лишь для систем с последовательным соединением элементов.

      В заключение необходимо отметить, что  все рассмотренные программы  поиска места отказа обеспечивают проведение системного упорядоченного поиска места отказа. Это позволяет на один-два порядка сократить общее время поиска по сравнению с бессистемными, неупорядоченными методами (методами "тыка").

3.2. Программы по максимуму информации

      Программа по максимуму информации может быть использована лишь тогда, когда по отказам оборудования АТС и ЭНС данного типа уже накоплен и систематизирован определенный опыт ее эксплуатации, в частности, когда для каждого элемента системы известны величина вероятности его отказа qi.

      Программа по максимуму информации основана на поиске места отказа путем выполнения в "гибком" порядке последовательных элементарных проверок групп элементов. В ряде случаев в группе может быть и один элемент. В первой элементарной проверке проверяется такая группа смежных элементов, сумма вероятностей отказов которых равна примерно 0.5, 0.25 - для второй, 0.125 - для третьей, 0.0625 - для четвертой и т.д.