Дискретная задача оптимального управления

• в рассматриваемой области фазового пространства при каждом i задается дискретный набор точек, от которых как от начальных строится семейство решений системы (1), принимаемых за исходные приближения в каком-либо известном итерационном алгоритме улучшения (градиентном, второго порядка и т. п.);
• каждое решение улучшается до достижения оптимума, вычисляются значения функции цены в узловых точках;
• задается приближенная функция Кротова-Беллмана посредством аппроксимации по найденному дискретному набору;
• вычисляется приближенно-оптимальный синтез с одновременной верхней оценкой;
• при удовлетворительном значении оценки процедура заканчивается, иначе меняется схема аппроксимации и повторяются шаги 3) и 4) до окончания по оценке или до установления;
• в последнем случае повторяются шаги 1)-5).
• Данный метод специфичен именно для дискретных систем, для которых конструкции Кротова, используемые на шагах 4) и 5), не требуют непрерывности и гладкости от функции р, и поэтому допускают произвольные аппроксимации, в том числе наиболее простые — кусочно-гладкие и даже кусочно-постоянные, что существенно упрощает шаг 5).
• Возможна модификация данного метода, применимая и к непрерывным системам, когда по дискретной схеме лишь задается функция р и подсчитывается оценка.
• Другая модификация эффективна в широком классе задач, для которых среди оптимальных траекторий может быть выделена некоторая опорная, «притягивающая» другие траектории выбранного семейства. Роль таких опорных траекторий могут играть магистрали в вырожденных задачах оптимального управления, исследуемых по методу кратных максимумов Гурмана, и программные оптимали в задачах локально оптимального синтеза в окрестности программной траектории с целью ее реализации управлением с обратной связью при малых возмущениях.
• 5. Некоторые приложения
• Приближённый синтез оптимального управления по дискретным схемам на основе глобальных методов и априорных оценок — это эффективный путь практического решения сложной проблемы оптимального синтеза. Это подтверждают разнообразные приложения к версиям разработанных методов.
• Так, в работах [6-8] описываются приложения рассматриваемых методов к задачам улучшения и локально-оптимального синтеза управлений, реализующих характерные маневры вертолета. Приближенный синтез в окрестности неоптимальной траектории с помощью полиномов первого - второго порядка приводит к улучшению управлений, а после серии итераций -- к локальному оптимуму и приближенному локально-оптимальному синтезу управления.

В работе [9] описывается приложение данного метода к актуальной задаче оптимизации стратегии устойчивого развития на агрегированной эколого-экономической модели -- типичной задаче с магистральным решением. Специфика этой задачи позволяет построить методом восстановления функции цены глобальный приближенный синтез оптимального управления с хорошей априорной оценкой, позволяющей судить о высокой точности решения. Выясняется такжевозможность приложений к аналогичным задачам любой размерности, что невозможно в рамках классической схемы Беллмана из-за «проклятия размерности». 

Методы  синтеза и определения  состояния обьекта

     При диагностировании объектов обычно рассматриваются  и учитываются только два характерных  состояния:

• объект функционирует;
• объект не функционирует.

     Однако  с учетом комплектующих объекта (блоков, агрегатов, деталей) фактическое число состояний может быть существенно больше, например:

• первый блок объекта функционирует;
• второй блок объекта не функционирует;
• третий блок объекта функционирует и т.д.

     В этой связи задача определения числа  состояний объекта по существу сводится к задаче определения числа таких блоков или агрегатов, отказ которых приводит к отказу всего объекта в целом.

     В общем случае, когда объект состоит  из N комплектующих, возможное число состояний может быть определено по формуле

S = 2ⁿ.

     Число состояний, когда объект не функционирует (объект отказал), равно

S₀ = S - 1.

Например, пусть рассматриваемый объект состоит  из двух последовательно соединенных  комплектующих (агрегатов).

Рис. 10. Схема объекта из двух агрегатов

     Тогда можно выделить четыре возможные состояния объекта:

• отказал первый агрегат;
• отказал второй агрегат;
• отказали первый и второй агрегаты;
• объект функционирует (не отказали ни первый, ни второй агрегаты).

     Из  общего числа состояний S число неработоспособных состояний S_N может быть определено по формуле

S_N = 2^N - 1.

     Очевидно, что при последовательном соединении элементов в рассматриваемом примере состояния 1,2,3 свидетельствуют о неработоспособности всей системы. Число состояний, соответствующих отказу всего объекта, 4 - 1= 3.

     При контроле реальных технических систем, состоящих из большого числа элементов, даже при учете для каждого  элемента только двух состояний общее  количество возможных состояний  оказывается чрезвычайно большим. Например, у объекта, состоящего из 200 деталей, общее число возможных состояний S = 2²⁰⁰, а число состояний неправильного функционирования S_N = 2²⁰⁰-1

     Для уменьшения числа учитываемых состояний  объекта принимают следующие  допущения:

• Вероятность одновременного возникновения в системе отказов двух и более элементов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью отказа только одного элемента. Фактически это означает, что число неработоспособных состояний системы может быть определена по формуле

Sn = N,

где N - количество элементов в системе (в объекте контроля).

• Можно исключить из рассмотрения отказы тех элементов, вероятность отказа которых мала, или их отказы не имеют опасных последствий. В этой связи число возможных состояний, практически приводящих к отказу всего объекта, равна

Sn < N.

     Перечисленные допущения позволяют существенно (на несколько порядков) снизить размерность числа рассматриваемых состояний у контролируемых объектов.

     Последовательность  выбора контролируемых состояний и  их признаков рассмотрим на примере  упрощенной схемы системы, которая  представлена на рис.11.

     Cледует, что рассматриваемая система состоит из девяти элементов. При этом общее количество ее возможных неработоспособных состояний Sn =2⁹ -1 = 511.

     4.2. Определение контролируемых параметров

     Если  допустить, что одновременно может  отказать только один блок, то число  неработоспособных состояний составит S_N=N=9. Отбросив маловероятные отказы (блоки 6, 7, 8, 9), получим, что наиболее вероятное количество неработоспособных состояний системы S_N равно всего лишь 5. Такими состояниями являются:

• - отказ блока №1;
• - отказ блока №2;
• - отказ блока №3;
• - отказ блока №4;
• - отказ блока №5.

     В качестве признаков перечисленных  состояний будем использовать отклонение от установленной нормы значений тех или иных параметров. В рассматриваемом примере такими признаками могут быть: 1 - повышение уровня шума, 2 - повышение давления, 3 - повышение температуры, 4 - величина напряжения, 5 - величина силы тока, 6 - величина сопротивления обмоток, 7 - величина сопротивления контакта, 8 - величина сопротивления изоляции.

     В общем случае между состояниями Sj и их признаками Xj могут встречаться виды взаимосвязи, представленные на рис.12.

- между признаком X и состоянием Si имеется взаимосвязь

(иначе  - признак X_i реагирует на состояние S)

 
- несколько признаков Xj...Х+„ реагируют на одно

     состояние S;

 
 
один  признак X_i реагирует на несколько состояний

(^Si..-^Si+n

 
Xi si - признак X_i и состояние S_i не связаны друг с другом (иначе -     признак X_i не реагирует на состояние S) 
 

 
                    Минимизация набора контролируемых параметров

• Для определения минимального и достаточного количества признаков вначале из всех предварительно отобранных необходимо исключить явно нерациональные (табл. 2) (например, с точки зрения сложности их выявления и контроля или которые дублируют другие признаки и т.д.). Затем из оставшихся признаков в минимально необходимую и достаточную группу отбирают такие, которые несут максимум информации при каждой очередной проверке. Процесс отбора в минимально необходимую и достаточную группу прекращают, как только отобранные признаки в сумме окажутся способными нести информацию обо всех состояниях контролируемого объекта. Описанный подход к определению минимального количества контролируемых параметров (признаков состояния) нашел наибольшее распространение, именно поэтому ниже он рассматривается детально.
• Таблица 2