Диофант и диофантовы уравнения

 

Требуется доказать, что сумма взятых n членов, умноженная на восьмикратную разность и сложенная с квадратом разности, уменьшенной на двойку (не надо забывать, что первый член прогрессии равен единице), дает

квадрат, сторона  которого без двойки равна кратному разности, или разности, помноженной  на число которое, приняв единицу будет вдвое

больше количества всех взятых членов, считая и единицу. Соответствующая формула будет 

(1) 

Подставляя вышеприведенное значение S (n членов), получаем тождество 

 

Основная цель этой формулы заключается в том, чтобы установить связь суммы арифметической прогрессии с некоторым квадратом. В качестве примера положим последовательность нечетных чисел. Тогда

Любопытно отметить, что формула Диофанта остается верной и при а = 1 (сумма чисел натурального ряда), когда разность а — 2 становится отрицательной. 
 
 
 
 

Диофант Александрийский 

«О  многоугольных числах» 

Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная с трех, является первым, начиная от единицы, называется многоугольником и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — четырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д.

О квадратах  хорошо известно, что они получаются от умножения некоторого числа на самого себя; доказывается также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее от количества его углов, и сложенный

с квадратом  некоторого числа, тоже зависящего от количества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат.

Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь

раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложенное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних .

     Действительно, пусть три числа АВ, В Г и ВД имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ*ВГ, (сложенное с АВ², образует квадрат, сторона которого равна сумме АВ и 2ВГ. 

 

8АВ*ВГ разложим  на 8ВГ² и 8АГ*ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ*ВГ, 4ВГ² и 4АГ*ВГ [т. е. 4ВГ*ГД, ибо АГ равно ГД; вместе же с ДВ² получится АВ²] . Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с ДВ², дает В А². Теперь остается узнать, каким образом АВ² вместе с 4АВ*ВГ и 4ВГ² даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ*ВГ преобразуется в 4ВА*АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ² [или с 4АЕ²], сделается равным 4ВЕ*ЕА (ВА*АЕ + АЕ² = АЕ*(АЕ + АВ) = ВЕ*ЕА.), а оно, сложенное с АВ², сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как одной прямой (4ВЕ-ЕА + АВ² = (BE + ЕА)².). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] АВ и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать. 

Если дано любое количество чисел с одинаковыми

разностями, то (разность) между наибольшим и наименьшим равняется разности [чисел], умноженной на уменьшенное на единицу количество заданных чисел. Пусть даны любые числа АВ, ВГ, ВД, BE с одинаковыми разностями; нужно показать, что разность между 

 

АВ и BE равна  разности между АВ и ВГ, умноженной на [количество] АВ, ВГ, ВД, BE, уменьшенное на единицу.

     Действительно, поскольку предполагается, что АВ, ВГ, ВД, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, ДЕ будут между собой равными. Следовательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, ДЕ; количество же АГ, ГД, ДЕ будет на единицу меньше количества АВ, ВГ, ВД, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества АВ, ВГ, В Д, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна

общая разность. 

Простым же языком говоря, то существуют треугольные, четырехугольные , пятиугольные и т.д.

Треугольные числа

 

Последовательность  треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, в,

Свойства:

• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Квадратные числа

 

Квадратные числа  представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n². 

Пятиугольные числа

 
 
 

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …, ,

Общий случай

Последовательность  k-угольных чисел:

1, k, .., . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

     Итак, подведем итог.

     Диофант (вероятно, III в.)-древнегреческий математик  из Александрии. О его жизни нет  почти никаких сведений. Сохранилась часть математического трактата Диофанта "Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. В "Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах;

     Мы  доказали что При взаимно простых коэффициентах диофантово уравнение

     

имеет решение в целых  числах.

     Нашли алгоритм, позволяющий отыскать число решений ЛДУ.

     Рассмотрели и вывели, что же такое «многоугольные числа»:

     Треугольными  числами в арифметике называются

суммы последовательных чисел натурального ряда, начиная  с единицы.

Это будут  а₁ = 1, а₂ = 1 + 2 = 3, а₃ =

= 1 + 2 + 3 - 6,..., .

     Нами  достигнуты поставленные цели,  научились находить  решения неопределенного уравнения, рассмотрели «многоугольные числа» Диофанта. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы 
 

1. Башмакова,И.Г. Диофант и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.

  2.Бухштаб, А. А. Теория чисел - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960. 

  3. Диофант Александрийский «Арифметика и книга о многоугольных числах» М., 1974 г., 328 стр. с илл. Редактор А. Ф. Лапко 

  4.Стройк, Д.Я. Краткий очерк истории математики – М.: «Наука», 1990 г.