ЯГПУ им. К.Д. Ушинского

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

ПО ТЕМЕ

«ДИОФАНТ  И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка 231 группы

Виноградова Н.В.

Проверила:

Трошина Т.Л. 
 
 
 
 
 

Ярославль, 2010г. 
 
 
 

Содержание

Введение…………………………………………………………….3

Диофант и история диофантовых  уравнений………………..4

Число решений ЛДУ………………………………………………6

Уравнения с одной неизвестной…………………………………8

Уравнения с двумя неизвестными……………………………….9

Примеры решения задач………………………………………….13

О «многоугольных числах»  Диофанта…………………………14

Диофант Александрийский 

«О  многоугольных числах»……………………………………....17

Заключение………………………………………………………..21

Список  литературы……………………………………………..22

 

 

Введение.

     Определим цели, стоящие перед данной работой. Для этого дадим два определения.

     Определение. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным) с неизвестными называется уравнение вида

     

,

где все  коэффициенты и неизвестные –  целые числа и хотя бы одно .

     Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное диофантово уравнение, как ЛДУ.

     Определение. Решением ЛДУ называется упорядоченная n-ка целых чисел , такая, что .

     Так же мы рассмотрим «многоугольные числа» .

Определение . Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная

с трех, является первым, начиная от единицы, называется многоугольником и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — четырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д.

     Нашей целью будет  научиться находить  решения неопределенного уравнения , если это решение имеется, рассмотреть «многоугольные числа» Диофанта и дать их краткую характеристику.

     Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:

     1) Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения.

     2) Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.

     3)  Каким образом получаются «многоугольные числа» 

     Работа  состоит из двух частей, в первой приведены теоретические материалы, во второй решения некоторых задач.

Диофант и история диофантовых  уравнений.

     Диофант (Dióphantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он.

Чтобы исчерпать  всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:

Прах  Диофанта гробница покоит; дивись ей — и  камень 
Мудрым искусством его скажет усопшего век. 
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком 
И половину шестой встретил с пушком на щеках. 
Только минула седьмая, с подругою он обручился. 
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец; 
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. 
Отнят он был у отца ранней могилой своей. 
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, 
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.  

     О времени жизни Диофанта мы можем  судить по работам французского исследователя  науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в.н.э.

     Но  наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко  отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

     «Арифметика»  Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные  задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

     Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

     Неопределенные  уравнения 1-й степени начали рассматриваться  индусскими математиками позднее, примерно с V века. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.[2]

     Первое  общее решение уравнения первой степени  , где - целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (ок. 625 г). Поэтому, строго говоря, нет оснований называть линейные неопределенные уравнения диофантовыми. Однако, исторически все же сложилось применять термин «диофантово», к любому уравнению, решаемому в целых числах.

     В 1624 г. в  публикуется книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problẻmes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей.

     После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики.

     Цепные  дроби к решению таких уравнений  были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это  тот же способ, который был дан  Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него. Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса.

     В августе 1900 г. в Париже состоялся II Международный  конгресс математиков. 8 августа Д.Гильберт прочитал на нем доклад "Математические проблемы". Среди 23 проблем, решение которых (по мнению Д.Гильберта) совершенно необходимо было получить в наступающем XX в., десятую проблему он определил следующим образом:

     "Пусть  задано диофантово уравнение  с произвольным числом неизвестных и рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах". 

     Гипотезу, что такого способа нет, первым выдвинул (с достаточным на то основанием) американский математик М.Дэвис в 1949 г. Доказательство этой гипотезы растянулось на 20 лет - последний шаг был сделан только в 1970 г. Юрием Владимировичем Матиясеевичем, на первом году аспирантуры он показал алгоритмическую неразрешимость 10 проблемы Гильберта.

     Число решений уравнения.

     Теорема 1. При взаимно простых коэффициентах диофантово уравнение

     

имеет решение в целых числах.

     Доказательство. Обозначим через множество тех положительных чисел , для которых уравнение

     

имеет решение в целых числах. , очевидно, не пусто, так как при заданных , можно подобрать целые значения , такие, чтобы было положительным числом.

     В множестве  существует наименьшее число ( – подмножество натуральных чисел), которое мы обозначим через Обозначим через - целые числа, такие, что

     

.

     Пусть , где ; тогда

.

     Мы  подобрали целые значения: , ,…, , такие, что , но , а - наименьшее положительное число в , т. е. не может быть положительным, , , .

     Аналогично  получаем: ,…, .

     Мы  видим, что  – общий делитель чисел , следовательно, поскольку , , , , то уравнение разрешимо в целых числах. 

     Теорема 2. Пусть - наибольший общий делитель коэффициентов . Диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда . Число решений такого уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.

     Докажем последовательно все три утверждения теоремы.

     1). Пусть  . Для уравнения

     

,

где , существуют целые числа: удовлетворяющие ему. Т.е. такие, что

.

Тогда

т. е. - решение уравнения.

     2). Пусть теперь не делит . Тогда левая часть уравнения при любых целых делится на , а правая на не делиться, так что равенство при целых значениях невозможно. 

     3). Если  - упорядоченная n-ка чисел, удовлетворяющий уравнению, то например, все n-ки

 при 

также  удовлетворяют  этому уравнению и, таким образом, у нас либо совсем не будет решений, либо их будет бесконечное множество.

     Если  хоть одна пара коэффициентов взаимно  простая, то , и уравнение имеет бесчисленное множество решений.  
 
 

     Уравнения с одной неизвестной.

     Рассмотрим  линейное уравнение с одной неизвестной, т.е. уравнение вида

       

     Ясно, что решением данного уравнения  будет  , и решение будет целым числом только в том случае, когда .

     Уравнения с двумя неизвестными.

     Рассмотрим  теперь линейное уравнение с двумя  неизвестными