Дифференциальное исчисление

¶z/¶x=- Fў_x(x,y,z)/Fў_z(x,y,z)

¶z/¶y=-Fў_z (x,y,z)/Fў_y(x,y,z)

Док-во: Найдем полный дифференциал функции

dF(x,y,z)=¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz

F(x₀,y₀,z₀)=0иdF=0и

¶F/¶x*dx+¶F/¶y*dy+¶F/¶x*dz=0

dz=-(¶F/¶x)/(¶F/¶z)*dx-(¶F/¶y)/(¶F/¶z)*dy  (*)

С другой стороны:

z=f(x,y), dz=¶z/¶x*dx+¶z/¶y*dy  (**)

Сравнивая (*) и(**) и

¶z/¶x=- Fў_x(x,y,z)/Fў_z(x,y,z)

¶z/¶y=-Fў_z (x,y,z)/Fў_y(x,y,z) 

Частные производные высшего порядка.

Пусть задана функция 2х переменных z=f(x,y),найдем ее частные производные.

¶z/¶x=fў_x(x,y)

¶z/¶y=fў_y(x,y)

В общем случае,  эти производные также являются функциями 2х и можно искать их частные производные. При этом получаем часные производные 2-ого и более порядков.Производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными.

Теорема: О независимости часных производных от порядка (последовательности) дифференцирования.

Две смешанные частные роизводные одного порядка, отличающиеся только порядком диф-я равны.

¶²z/¶x¶y=¶²z/¶y¶x - в следствии этого, при обозначении смешанных частных производных последовательность диф-я не указывается.

¶ⁿz/¶x^n-2¶y² 

Экстремумы функции 2ух переменных.

Рассмотрим функцию 2х переменных z=f(x,y) в области Д, пусть р₀(x₀,y₀) - внутренняя точка этой области.

Опр. Точка р₀ наз. Точкой max  функции, если в некоторой окресности этой точки выполняется неравенство:

f(x,y)< f(x₀,y₀)

min - наоборот

Теорема: Необходимое условие существования экстремума функции в точке р_0.

Если ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и имеет в этой точке экстремум, то часные производные функции в этой точке равны нулю.

fў_x(x₀,y₀)=0

fў_y(x₀,y₀)=0

Пусть в точке р₀  функция достигает max. Рассмотрим часную производную этой функции по у.

fў_y(x,y)=jў(у)

При нахождении этой частной производной мы имеем дело с функцией, зависящей только от х, при этом эта функция в точке р₀ достигает max, поэтому по теореме о существовании экстремума функции одной переменной имеем:

jў( y₀)=0 ® fў_y(x₀,y₀)=0, аналогично по х.

Опр. Точка р₀ при этом наз. стационарной точкой (в которой часные производные равны нулю).

Из этого следует, что экстремум функция 2х переменных может достигать только в стационарных точках (если она диф-ма ), но не во всякой стационарной точке функция достигает экстремума, т.к это только необходимое условие, но недостаточное условие.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума ф-ции 2х переменных.

Пусть ф-я z=f(x,y) диф-ма в точке р₀ и эта точка явл. стационарной точкой , найдем часные производные 2ого порядка этой функции

r=¶²z/¶x²    s=¶²z/¶x¶y   t=¶²z/¶y²

Вычислим в точке р₀ значение выражения  (rt-s²)_po, если это выражение >0, то в т. р₀ сущ. экстремум.

При этом если r>0 р₀ -min; r<0 р₀ -max

Если rt-s²<0 - экстремума нет.

rt-s²=0 - экстремум возможен, требуются дополнительные исследования. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.

F(x,y)=0 - уравнение границы Д.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.

Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:

1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.

2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.

3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач. 
 
 
 
 
 
 
 

Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области Д.

Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 и y=y(x) - на гр. обл. Д

z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) - является сложной функцией.

 Необходимо найти min и max z(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках). 

Леция №4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Определение интеграла по фигуре.

Пусть дана фигура G , р - текущая точка на фигуре.

f(p) - заданная на фигуре G

Выполним след. операции:

1.Разобьем G на куски: DG₁, DG₂,…, DG_n, - меры кусков.

2.Внутри каждого куска выберем по 1 точке р1, р2, р3…

3.Вычисляем значение функции в выбранных точках

4.Составляем сумму произведений

f(p₁)* DG₁+ f(p₂)* DG₂+… +f(p_n)* DG_n=(n/i=1)еf(p_i)*DG_i -

эта сумма  называется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n

Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) называется предел интегральных сумм этой функции, когда n®0

т_Gf(p)dG=Lim(n®Ґ)*(n/i=1)еf(P_i)*DG_i

Если этот предел существует и независит от способов разбиения при условии, что диаметры кусков при этом стремятся к нулю.