Дифференциальное исчисление

В результате получаем А=¶z/¶x

2)Dx=0 Dy№0

При этом аналогичным образом получим, что В=¶z/¶y

Теорема доказана. Как следствие а полный дифференциал дифференцируемой функции определяется по формуле:

dz=¶z/¶x·Dx+¶z/¶y·Dy, если при этом учесть, сто приращение независимых переменных х и у равны их дифференциалам Dx=dx, Dy=dy, то окончательно получим:

dz=¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy

Теорема 2.  Достаточное услови дифференцируемости функции.

Если z=f(x,y) имеет в точке р(х,у) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке, т.е. она имеет полный дифференциал. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Полный дифференциал для функций нескольких переменных.

Для функций многих переменный полный дифференциал определяется аналогично, при этом:

u=f(x,y,z,…,t)

du=¶u/¶x·dx+¶u/¶y·dy+¶u/¶z·dz+…+¶u/¶t·dt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Применение полного дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть задана функция z=f(x,y) рассмотрим ее полное приращение.

Dz=f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y)

При малых Dх и Dу а Dz»dz и

f(x+Dx,y+Dy) - f(x,y) » ¶z/x¶·Dx+¶z/¶y·dy®

f(x+Dx,y+Dy)» f(x,y)+¶z/¶x·dx+¶z/¶y·dy — формула для приближенных вычислений.

Эта формула позволяет вычислять приближенное значение функции в точке р1 по известному ее в точке р и значением ее частных производных в точке р. Чем меньше Dх и Dу, тем меньше погрешность. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Дифференцирование сложных функций.

Опр. Переменная z=z(t) - называется сложной функцией переменной t, если она определяется равенством:

z=z(t)=f[x(t),y(t)] - сложная функция от t.

Теорема. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке р(х, у), а функции x=x(t) и y=y(t) дифференцируемы в ссответствующей точке t, то сложная функция z=z(t) также дифференцируема в точке t и ее производная определяется равенством:

dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt+ ¶x/¶y·dy/dt  [**]

Док-во: Дадим переменной t приращение Dt, при этом х=х(t) получит приращение Dх, а у=у(t) а Dу, в результате переменная z=f(x,y) получит приращение Dz, т.к. z(х,у) - дифференцируемая функция, то это приращение может быть представлено в виде:

Dz=¶z/¶x·Dx + ¶z/¶y·Dy + a

разделим на Dt и перейдем к пределу

Lim(Dt®0)Dz/Dt = ¶z/¶x·Lim(Dt®0)Dx/Dt +

+ ¶z/¶y·Lim(Dt®0)Dy/Dt + Lim(Dt®0)a/Dt

dz/dt = ¶z/¶x·dx/dt + ¶z/¶y·dy/dt + Lim(Dt®0) a/r·r/Dt  и 0

r=ЦDx²+Dy^2Ш

Lim(Dt®0)a/r=0 - по определению дифференциала.

Lim(Dt®0)r/Dt = Lim(Dt®0)Ц(Dx/Dt)²+(Dy/Dt)^2Ш=

=Ц(dx/dt)²+(dy/dt)^2Ш№Ґ

Формула [**] доказана. 

Рассмотрим частный случай сложной функции:

z= f[x,y(x)] = z(x)

в ф-ле [**] вместо tах, получим

dz/dx= ¶z/¶x·dx/dx+ ¶z/¶y·dy/dx

dz/dx= ¶z/¶x+ ¶z/¶y·dy/dx  [***]

Формула [**] распространяется на сложные функции большего числа переменных.

Пусть z=f(x,y), где x=x(r,s,..t), y=y(r,s,..,t) и z=z(r,s,..,t) - cложная функция.

При этом формула [**] принимает вид:

¶z/¶r=¶z/¶x·¶x/¶r+¶x/¶y·¶y/¶r

¶z/¶s=¶z/¶x·¶x/¶s+ ¶z/¶y·¶y/¶s    [****] 

Лекция №3

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Опр.  Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .

F(x,y,z)=0

x+y+z=e^z - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.

x²+y²+z²=0 - не задает никакой функции.

Теорема: Если ф-я F(x,y,z) - непрерывна в т. р₀(x₀,y₀,z₀) и ее производная по z  F_z(x,y,z)№0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам: