Частные производные

2.3. Частные производные высших порядков

    Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами: 

    

,       

     

,

    

,

    

. 

      Частные производные  и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка. 

    Аналогично  определяются частные производные  третьего, четвертого и старших порядков.

    Пример 8: Найти частные производные второго порядка функции .

    Имеем:         , ,,

    

, , , .

    Здесь = . Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Смешанные производные второго порядка (они отличаются друг от друга порядком дифференцирования) равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

    Пример 9: Дана функция  . Доказать, что .

    Решение:

    

    Приводя подобные члены , убеждаемся, что  .

    Пример 10: Найти все вторые частные производные функции .

    Решение:

    

    Пример  11: Нейдем вторые частные производные функции z=х³у²+2х²у-6. Имеем:

         
Смешанные производные равны между собой.

    Замечание 1. Четыре частных производных второго порядка в силу теоремы 1 сводятся к трем:  

    Частные производные от частных производных  второго порядка называются частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) и обозначаются , (чистые производные), , , и т.д. (смешанные производные) или и т.д.

    Теорема 2: Смешанные производные третьего порядка, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования, равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

    Например, .

    Пример  12: Частные производные третьего порядка функции z=x³y²+2x²y-6 есть:

    

    Замечание 2. Восемь частных производных третьего порядка в силу теоремы 2 сводятся к четырем:  .

    Замечание 3. Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого и высших порядков функции f (х,у), а также функций трех и большего числа аргументов. Для всех случаев имеют место теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2. 
 
 
 

 

    3. Некоторые практические применения производной  

    3.1.  Практическое применение производной при решении неравенств

    Дифференциальное  исчисление широко используется при  исследовании функций. С помощью  производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные  точки, наибольшие и наименьшие значения.

    Если  функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

    Если  точка x₀ является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f^/(x₀)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

    Если  функция f непрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f^/(x0)>0 (f^/(x0)<0 ) на интервале (a,x0) и f^/(x0)<0 (f^/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f.

    Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b  и в критических точках из отрезка [a,b].

    Эти результаты применимы при решении  многих элементарных задач, связанных  с неравенствами.

    Пусть, например, требуется доказать, что  на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)³g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F^/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)³0, т.е. f(x)³g(x).

    Пример 13:  Доказать что (e+x)^e-x>(e-x)^e+x  для 0<x<e.

Решение:

Данное  неравенство равносильно следующему: (e-x)ln(e+x)>(e+x)ln(e-x).

Пусть f(x)=(e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x),

тогда         

Т.к.     

ln(e+x)+ln(e-x)=ln(e²-x²)<lne²=2,

то  f^/(x)>0 при 0<x<e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0£x<e, то f(x)>0 при 0<x<e.

    Пример 14: Доказать неравенство tg^ka+ctg^ka³2+k²cos²2a, 0<a<p/2,

k–натуральные.

    Решение:

    Неравенство можно записать в виде:

    Пусть сначала 0<a<p/4. На этом интервале ctg a> tg a, cos 2a>0, поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству ctg^k/2a–tg^k/2a ³ k*cos 2a.

    Положим  f(a)=ctgⁿa–tgⁿa–2n*cos 2a, где .

    Далее,  

    при   .

    Здесь, как и в предыдущей задаче, использован  тот факт, что сумма взаимно  обратных положительных чисел больше или равна 2. Таким образом, на интервале  функция f убывает. В точке она непрерывна, поэтому (0; ] является промежутком убывания f. Наименьшим значением функции на этом промежутке является f( )=0. Следовательно, f(a)³0 при 0<a< . Для указанного промежутка неравенство доказано. Если <a< , то 0< – a< . Однако неравенство не меняется при заменен a на – a.

    Пример 15:  Что больше e^p или p^e ?

    Решение:

    Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: a^b=b^a, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a<b. Ввиду симметричности вхождения a и b в уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение a^b=b^a равносильно уравнению b*(ln a)=a*(ln b), или  .

    Пусть f(x)= .                                                                                                 (1)

    Существование решений уравнения (1) эквивалентно наличию значений x₁ и x₂ (x₁<x₂) таких, что f(x₁)=f(x₂). В этом случае пара (x₁,x₂) является решением уравнения (1). Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0<x<e  f^/(x)>0  функция f возрастает, а при x>e,  f^/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e функция f  принимает свое наибольшее значение  ( ). Так как функция непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –¥ до . Аналогично, на промежутке [e,¥) функция f принимает все значения из (0; ]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

    1. Если 0<a<b и a£ 1, то . Поэтому a^b<b^a . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение a^b=b^a не имеют решений.

    2. Если  1<a<b£ e, то a^b<b^a  и уравнение a^b=b^a также не имеют решений.

    3. Если  b>a>e, то a^b>b^a.

          Таким образом, если (a,b) является решением уравнения a^b=b^a , то 1<a<e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1<a<e найдется единственное значение b>e такое, что a^b=b^a

          Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b=p и воспользоваться утверждением (1). Итак, e^p > p^e .

    Пример 16: Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению  предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.

    Решение:

    Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно S_n и S_n^/. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то

        

    Приравнивая n-е члены прогрессий, находим

       

    Тогда   , где q>1 (по условию задачи). Задача будет решена, если мы покажем, что , где n>2, q>1   (2)

    При n=3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем