Министерство  образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Борисоглебский государственный педагогический институт» 
 
 

Физико-математический факультет

Кафедра математики и методики ее преподавания 
 
 
 
 

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ 
 
 
 
 
 

                                                        Курсовая работа

                                                    по математике

                                                                            Студент: V курса, I группы,

                                                           Подколодная Е.И. 

                                                                                 Руководитель: преподаватель

                                                     Рязанова Е.Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Борисоглебск, 2011

Содержание 

1. Введение………………………………………………………………………..…3 

2. Частные производные…………………………………………………………....4  

   2.1. Частные производные………………………………………………….….4-7 

   2.2. Геометрический  смысл частных производных………………………….7-9 

   2.3. Частные  производные высших порядков…………………………….....9-12 

3. Некоторые  практические применения производной……………………..……13 

   3.1. Практическое  применение производной при решении  неравенств….13-17 

   3.2. Практическое  применение производной при решении  уравнений…..17-21 

   3.3. Использование производной в физике………………………………….....21 

       3.3.1. Скорость материальной точки…………………………………...21-22 

       3.3.2. Теплоемкость вещества при данной  температуре…………...…22-23 

       3.3.3. Мощность………………………...…………………………………..23 

4. Заключение………………………………………………………………………..24 

Список литературы………………………………………………………………….25    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1. Введение

    Элементы  математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается.

          Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений, и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

          Для многих задач  элементарной математики допускается  как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и  интеграла дает, как правило, более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата. Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики. 
 

    2. Частные производные 

    2.1.    Частные производные.

    Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М )< , называют -окрестностью точки М .

     Пусть функция двух переменных  z=f(x;у)  (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину  

   

, 

которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.

    Аналогично  величину  

   

 

называют  частичным приращением функции по переменной у.

      Если существует предел  

   

, 

то его  называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х и обозначают такими символами: 

   

, , , . 

       Аналогично

   

=  

       Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

       Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей. Частные производные от частных производных  , функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных  может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так: 

   

,         ,

   

,         . 

      Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

      Частные производные от частных производных второго порядка называются  частными производными третьего порядка и т. д.

      Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной.

    Пример 1: Найти частные производные функции

    

    Решение: 

    

    (при дифференцировании по x мы считаем у=const, а при дифференцировании по у мы считаем x=const).

    Пример 2: Найти частные производные функции

    

    Решение: 

      Пример 3: Пусть u= x^у (x>0); частные производные этой функции будут:

      Первая из них вычисляется как производная степенной функции от х

(при у =const), а вторая - как производная показательной функции от у

(при  х = const).

      Пример 4: Если , то

    

      Пример 5: Для имеем:

    ;  ; .

      Пример 6: Пусть , где -   произвольная   функция (имеющая производную).

    Показать, что для z всегда выполняется соотношение:

   

какова  бы ни была функция .

    По  правилу дифференцирования сложной  функции  (означая штрихом производную по u) имеем:

   

и отсюда

   

      Пример 7: Сторона a треугольника определяется по двум другим сторонам b, c и заключенному между ними углу a так:  .

      Тогда

   

    

           

    2.2. Геометрический смысл частных производных

    Для большей геометрической наглядности  и для того, чтобы не вводить  новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.

    Рассмотрим  функцию z = f(x, у), определенную на плоском открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости Е².

    Пусть (x₀, у₀) G и пусть в точке (х₀, у₀) существует частная производная . Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной

производной как обычной производной функции  f(x, у) по х при

фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной.

    

    График 1 – геометрический смысл частных  производных. 

    В самом деле, возьмем замкнутый  круг Q радиуса r с центром в точке (x₀, у₀) и лежащий в G*. Пусть - кривая, заданная представлением 

    

 

т.  е.   кривая,   которая   получается   сечением   графика   функции z= f(x, у), (х,y) Q плоскостью =y₀.

    * Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая -окрестность O точки (х₀, у₀), что О G. Тогда замкнутый круг Q радиуса с центром в точке (х₀, у₀) будет заведомо   лежать   в   G.

    Как известно, 

    

    где

- угол, образованный касательной к графику функции f(х, у₀) в точке (х₀, f(x₀, у₀)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой в точке (x₀, у₀,f(х₀, у₀)) с осью Ох.

    Таким образом, 

    

 

- в этом состоит  геометрический смысл частной  производной.

    Совершенно  аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производной  тангенса угла наклона, образованного касательной в точке (х₀, f(x₀, у₀)) к кривой, образованной сечением графика функции z=f(x, у), (х,y) Q плоскостью х=х₀, с осью Оу.