Центральная предельная проблема теории вероятности

поэтому при  любом фиксированном целом числе  т функции — log f_n

являются логарифмами  характеристических функций (того же самого вида). Таким образом, если f → f_n , где f — характеристическая функция, то по теореме замкнутости  f   безгранично делима. Достаточность доказана.

Наоборот, пусть f  безгранично делима; тогда   log   f   существует и конечен и  

где F_n (х) являются функциями распределения. Беря суммы Рима-

на — Стильтьеса, которые приближают     f ^1/n (и) — 1 с точностью порядка не меньше 1/n², мы получаем доказательство необходимости. Доказательство закончено.

Для того чтобы найти явное представление  безгранично делимых законов, введем следующие обозначения. Если не оговаривается что-либо другое, то мы всегда будем обозначать ψ с индексом или без индекса функцию, заданную на R с помощью формулы