Центральная предельная проблема теории вероятности

 
 
 
 
 

Выполнил:

Студент группы РФ-07-7

Коняшкин  Н. С.

Преподаватель:

Юницкий С. А. 
 
 
 

Москва, 2009

        Введение.

        Центральная предельная проблема теории вероятностей представляет собой проблему сходимости законов последовательности сумм независимых случайных величин.

     В течение более двух столетий в теории вероятностей рассматривался частный случай предельной проблемы — классическая предельная проблема. Точная формулировка этого частного случая и его решение были получены во второй четверти текущего столетия. В то самое время, когда эта частная проблема получала свое решение, возникла гораздо более общая центральная предельная проблема. Эта проблема очень быстро была решена мощными методами характеристических функций, методами усечения и симметризации.

   Развитие  проблемы.

    В классической предельной проблеме рассматриваются независимые слагаемые Х_п с конечными первыми, а в случае нормальной сходимости — и вторыми моментами. Эти моменты используются для изменения начала отсчета и масштаба величин последовательных сумм

это делается для того, чтобы вероятность «не уходила в бесконечность». Такой выбор «нормирующих» констант объясняется исключительно историческими причинами; эти константы появились в результате прямого обобщения нормирующих констант в схеме Бернулли на более общий случай. Априори нет оснований надеяться, что эти константы сохранят свое значение и в общем случае. Другой выбор констант (независимо от существования и конечности первых двух моментов) может дать тот же самый результат. Таким образом,  возникает проблема  нахождения   условий,   при  которых для нормированных сумм                  имеют место закон больших чисел и нормальная сходимость. Методы решения остаются те же, что и в классическом случае, однако выкладки усложняются. В этой постановке проблемы все еще сохраняется влияние первых двух предельных теорем в схеме Бернулли. В самом деле, только этим влиянием можно объяснить то, что мы ожидаем получить, и разыскиваем лишь те предельные законы, которые совпадают либо с вырожденными,  либо с нормальными.

      Новый подход П. Леви, свободный от этого влияния, привел к созданию центральной предельной проблемы. Он поставил и решил следующую проблему: найти семейство всех возможных предельных законов нормированных сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин. Мы уже видели, что в тех случаях, когда случайных величины имеют конечный второй момент, предельный закон (с классическими нормирующими константами) нормален. Таким образом, П. Леви имел дело в первую очередь с новым случаем бесконечных вторых моментов и конечных или бесконечных первых моментов.

     Естественно сразу возник вопрос о всех возможных предельных законах нормированных сумм независимых, но не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Однако предельная теорема Пуассона пока еще остается в стороне, так как она связана с последовательностями сумм, а не с последовательностями нормированных частных сумм. Более того, ни при каких «естественных» ограничениях закон Пуассона не может быть предельным законом последовательности нормированных  сумм.   Этим   и   объясняется   его   изолированное положение.   Но   последовательности                                       

                   являются частным  случаем последовательностей                  (если 

положить                                     ) ;  это  приводит  нас   к  окончательной формулировке проблемы.

     Теперь вырисовывается общее содержание центральной предельной проблемы: найти предельные законы последовательностей сумм независимых слагаемых и найти условия сходимости к заданным законам. Однако в такой общей постановке проблема бессодержательна. В самом деле, пусть Y_n— произвольные случайные величины; положим X_n1 = Y_n и Х_пк = 0п. н. при     k > 1 и каждом n. В этом случае рассматриваемая последовательность законов превратится в последовательность                  поэтому семейство предельных законов содержит любой закон        ; для этого надо взять                            

       Таким образом, необходимо наложить некоторые ограничения.

Рассмотрим те задачи, которые приводят к этим «естественным» ограничениям. Общим свойством этих задач является то, что число слагаемых безгранично  растет, причем предельный закон не изменяется, если опустить произвольное конечное число слагаемых. Это свойство приводит к следующему «естественному» ограничению:   слагаемые   Х_пк должны быть   равномерно   бесконечно малыми, т. е.                     равномерно по k, или, что равносильно, при каждом  ε > 0.

 

      Мы пришли, наконец, к следующей точной формулировке проблемы.     Центральная   предельная    проблема:

Пусть                          является суммой равномерно бесконечно малых незави-

самых  слагаемых Х_пк  и k_n→∞.

1. Найти семейство всевозможных предельных законов таких сумм.
2. Найти условия сходимости к любому заданному закону этого семейства.

      Для упрощения записи будем придерживаться следующих обозначений:

(I)                                                            суммирование           произведение     

и максимум                 берутся по всем этим значениям k,  переход  к пределу обычно производится при n→∞, если не оговорено что-либо другое.

(II)   Функцию распределения и характеристическую функцию случайной величины X_nk обозначим F_nk и f_nk ; функцию распределения и характеристическую функцию                  обозначим F_n и f_n. Условие равномерной бесконечной малости запишется так:                                                              при  любом  ε > 0,   
 

а условие независимости   приводит   к   равенству                           Сама проблема может  быть  сформулирована так:

Пусть   даны  последовательности                           произведений характеристических

функций равномерно бесконечно малых случайных величин.

1. Найти все такие характеристических функции   f, для которых   f_n→f.
2. Найти условия, при которы x   f_п   → к данной f.

          Если рассматриваемые характеристические функции имеют логарифмы на                                  то мы всегда будем выбирать их главные ветви   (непрерывные    и    обращающиеся    в  нуль   при   u = 0);

тогда на                                                     

                              (равномерно)                                             (равномерно).

         Проблема была решена после того, как Финетти ввел семейство «безгранично делимых» законов, а Колмогоров и П. Леви нашли явное представление этих законов, первый — в случае конечных вторых моментов, а второй — в общем случае. Проблема была решена с использованием этого семейства законов усилиями Колмогорова, П. Леви, Феллера, Бавли, Хинчина, Марцинкевича, Гнеденко и Деблина (1931—1938 гг.). Окончательные результаты получены в основном Гнеденко.

            Случай ограниченных дисперсий.

        В качестве введения в исследование общей проблемы изучим независимо от нее частный «случай ограниченных дисперсий», который представляет собой «естественное» обобщение классической проблемы нормальной сходимости. При этом вычисления будут намного легче, чем в общем случае, хотя метод решения по существу одинаков.

Рассмотрим суммы                независимых случайных величин, центрированных математическими ожиданиями, с функциями распределения F_nk и xap. функциями f_nk и с такими конечными дисперсиями                           что                                                                             где постоянная с   не зависит от п.

Эта модель является частным случаем  центральной предельной проблемы,  поскольку при  каждом  ε > 0

                                                                                                                                    т. е. выполнены условия равномерной бесконечной малости. Из ограниченности последовательности дисперсий сумм вытекает конечность дисперсии предельного закона.

а) Лемма сравнения.

 При выполнении условия (С) log f_nk (и) существует и конечен для п ≥ п_и , где п_и достаточно велико; для каждого фиксированного и 

 

Доказательство. Так как                                                        то из условия (С) следует 

Таким образом, для п > п_и ,  где п_и достаточно велико,                            поэтому log f_nk (и) существует и конечен, а из разложения

                                                                                                              

вытекает   
 
 

Лемма  сравнения доказана. Положим 

Так как  

то мы имеем

 

или 

В последней формуле К_п есть неубывающая непрерывная слева на R функция с                                                               определенная формулой

а подынтегральная функция определяется в точке х = 0 по непрерывности и равна там — и²/2. Лемму сравнения можно сформулировать в  следующем виде.

а'.  При условии (С)

Введенные выше функции всегда будут  обозначаться ψ и К с индексами или без индексов. Таким образом, если не оговорено противное, функция ψ определяется на R равенством

где К с точностью до постоянного множителя является функцией распределения с                                                         ψ и К могут иметь (один и тот же) индекс.

б) Каждая функция е ^ψ является хар. функцией с нулевым первым моментом и конечной дисперсией σ² = Var К и представляет собой предельный закон при условии (С).

Доказательство. Подынтегральная функция  ограничена по х и непрерывна по и (или х) при каждом фиксированном х (или и). Отсюда следует, что ψ является непрерывной на R функцией   и    равна   пределу   сумм   Римана — Стильтьеса   вида                                                                      где

 

при этом мы будем  выбирать точки деления х_пk ≠ 0. Каждое слагаемое является логарифмом некоторой характеристической функции (пуассоновского типа), поэтому их суммы и предел ψ (по теореме непрерывности) также представляют собой логарифмы характеристических функций. Из элементарных вычислений

вытекает второе утверждение. Далее, пусть Х_пk  ,  k = 1,…,n  —

независимые случайные  величины с одним и тем же логарифмом   характеристической функции, равным ψ/n. Так как ψ/n соответствует функция К/п, то ,                                      причем                       Так как           имеет при любом п характеристическую функцию е ^ψ и условия (С) выполнены, то тем самым доказано  и последнее  утверждение.

в)  Лемма единственности.

ψ однозначно определяет (С), и наоборот.

Доказательство.  Поскольку

 

то применима  формула обращения, и К однозначно определяется по ψ через ψ ". Обратное утверждение очевидно.