Автор работы: Пользователь скрыл имя, 30 Ноября 2012 в 09:49, реферат
Я выбрал данную тему, потому что для меня интересна не только биография известного советского математика, но и его труды. Это тема достаточно обширная. В данном реферате я начну с рассмотрения биографии А.Н.Колмогорова. Далее будем рассматривать труды этого великого математика: аксиомы, теоремы.
Вступление………………………………………………………………………...3
Основная часть…………………………………………………………………….4
1. Биография……………………………………………………………………….4
1.1 Ранние годы……………………………………………………………………4
1.2 Университет…………………………………………………………………...5
1.3 Профессор……………………………………………………………………..9
1.4 Послевоенная работа………………………………………………………….9
2. Работы Колмагорова А.Н……………………………………………………..12
2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей…………..12
2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом…………………………14
2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства…16
2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»…….16
2.5 Двойственность Колмогорова………………………………………………17
2.6 Гносеологический принцип…………………………………………………17
2.7 Средние Колмогорова……………………………………………………….18
2.8 Колмогоровы теоремы………………………………………………………19
Заключение………………………………………………………………………24
Список использованных источников информации……
2.8.2 Теорема о применимости больших чисел закона
Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Yn предельно постоянны?
Не ограничивая общности, можно предположить, что медианы величин Хn,k равны нулю; пусть *Хn,k = Хn,k при | Хn,k |≤1 и *Хn,k = 0 при | Хn,k |>1, тогда одновременное выполнение двух условий
при
и
при
Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Yn . В качестве Сn можно взять . Если математические ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать Сn = EYn , что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.
.
Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {Xn} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических Yn в этом случае необходимо и достаточно условие при .
2.8.3 Теорема о применимости
больших чисел усиленного
В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложимости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н.Колмогоровым: достаточное (1930) – для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) – для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин Xi). Теорема Колмогорова для случайных величин X1, X2, …, Xn, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия
вытекает приложимость к последовательности X1, X2, …, Xn, … больших чисел усиленного закона
.
В терминах дисперсий условие
оказывается наилучшим в
том смысле, что для любой
можно построить последовательность независимых случайных величин Xn с DXn = bn , не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия
может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mXn – медиана Xn. Сходимость ряда
необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что
с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.
В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда
устанавливается сходимость ряда
,
где nk = 2k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.
Заключение
И в заключении можно сказать, что А.Н. Колмогоров весьма талантливый человек и развитый во всех направлениях. Его труды привнесли много нового в развитие науки и техники. Он дал новые направления на изучение еще не открытых областей знаний.
Его достижения не прошли бесследно – при жизни он был почетным членом Институтов и университетов, а также имел огромное количество наград: премий, медалей, орденов и т.п.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ