Биография и труды Колмогорова А.Н.

Круг жизненных интересов  Андрея Николаевича не замыкался  чистой математикой, объединению отдельных  разделов которой в одно целое  он посвятил свою жизнь. Его увлекали и философские проблемы (например, он сформулировал новый гносеологический принцип — Гносеологический принцип А.Н. Колмогорова), и история науки, и живопись, и литература, и музыка.

Академик Колмогоров —  почётный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года учёный был удостоен международной  премии Бальцана (этой премией он был награжден вместе с композитором Хиндемитом, биологом Фришем, историком Моррисоном и главой Римской католической церкви Папой Иоанном XXIII). В том же году Андрею Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия (совместно с В.И. Арнольдом). В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.

«Я принадлежу, — говорил  учёный, — к тем крайне отчаянным  кибернетикам, которые не видят никаких  принципиальных ограничений в кибернетическом  подходе к проблеме жизни и  полагают, что можно анализировать  жизнь во всей её полноте, в том  числе и человеческое сознание, методами кибернетики. Продвижение в понимании  механизма высшей нервной деятельности, включая и высшие проявления человеческого  творчества, по-моему, ничего не убавляет в ценности и красоте творческих достижений человека».

По меткому выражению  Стефана Банаха: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик — кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии». К этим редким представителям последних относится и Андрей Николаевич Колмогоров — один из крупнейших математиков двадцатого века.

Колмогоров скончался 20 октября  1987 г. в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

 

2. Работы Колмагорова А.Н

Научную деятельность начал  в области теории функций действительного  переменного, где ему принадлежат  фундаментальные работы по тригонометрическим рядам, теории меры, теории множеств, теории интеграла, теории приближения функции. В дальнейшем Колмогоров внес существенный вклад в разработку конструктивной логики, топологии (где им создана  теория верхних гомологий), механики (теория турбулентности), теории дифференциальных уравнений, функционального анализа. Основополагающее значение имеют работы Колмогорова в области теории вероятностей, где он совместно с  А.Я. Хинчиным начал применять методы теории функций действительного переменного (с 1925 г.). Это позволило Колмогорову решить ряд трудных проблем и построить широко известную систему аксиоматического обоснования теории вероятностей (1933), заложить основы теории Марковских случайных процессов с непрерывным временем. Позднее он развил теорию стационарных случайных процессов, процессов со стационарными превращениями, ветвящихся процессов. Он внес важный вклад в теорию информации. Ему принадлежат исследования по теории  стрельбы, статистическим методам контроля массовой продукции, применениям математических методов в разработке вопросов математического образования в средней школе и университетах.

 

2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного  числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть Ω — множество  элементов ω, которые называются элементарными событиями, а F — множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а Ω — пространством элементарных событии.

Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.

Аксиома II (существование  вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.

Аксиома III (нормировка вероятности).P(Ω) = 1.

Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то P(x+y) = P(x) + P(y).

Совокупность объектов (Ω, F, P), удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, F — из Ω и невозможного событий (пустого множества) Ø, при этом положено P(Ω) = 1, P(Ø) = 0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

 

2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Обычно можно предполагать, что система F рассматриваемых событий x, y, z, которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество Ω (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m/n будет мало отличаться от P(x). Далее ясно, что , так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события Ω всегда m = n, благодаря чему естественно положить P(Ω) = 1 (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества Ω), то m = m1 + m2, где m,m1,m2 обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y, x, y. Отсюда следует:

 

 

Следовательно, является уместным положить P(x+y) = P(x) + P(y) (аксиома IV).

 

2.3 Аксиома непрерывности  и бесконечные вероятностные  пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые  выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются  также и к вопросам, связанным  с бесконечным числом случайных  событии, однако при изучении этих последних  применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности событий из F такой, что Ø, имеет место равенство .

Аксиома непрерывности —  это единственная аксиома современной  теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных  событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством  называется только такое вероятностное  пространство (Ω, F, P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий F конечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома  существенна лишь для бесконечных  вероятностных пространств, то почти  невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это  было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные  пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы  действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют  аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных  исследованиях.

 

2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра F событий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x_n из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами).

Пусть дано вероятностное  пространство в расширенном смысле (Ω, F₀, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = σ(F₀), содержащая F₀.

Более того, справедлива  теорема (о продолжении). Определённую на (Ω, F₀) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P = P(·) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное  пространство (Ω, F₀, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества  из сигма-алгебры F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире.

Если, однако, рассуждение, которое  использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению  вероятностей «реального события» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

 

2.5 Двойственность Колмогорова

Двойственность Колмогорова — двойственность в алгебраической топологии, состоящая в двух изоморфизмах:

Пусть A есть замкнутое множество хаусдорфова локально компактного пространства R.

Двойственность Колмогорова  для групп гомологий даёт изоморфизм

 

,

 

если H_r(R,G) = 0 и H_{r + 1}(R,G) = 0.

Двойственность Колмогорова  для групп когомологий даёт изоморфизм

 

,

 

если H^r(R,G) = 0 и H^{r + 1}(R,G) = 0.

 

2.6 Гносеологический принцип

Гносеологический принцип - утверждение, что в мышлении и творчестве человека проявляется только тенденция к поискам более простых (оптимальных) решений. Достижение лучших решений, построенных совсем иначе, таких решений, которые не могут быть получены из предложенного путем мелких улучшений, лежит за пределами того, что может уловить самая изощренная интуиция.

Этот принцип был изложен  в письме А. Н. Колмогорова от 27 августа 1963 г. (опубликовано в 2005 г.). В 2005 г. Экспериментальная проверка самообучения человека на моделях подтвердила истинность данного принципа. Поведение человека в таких условиях подобно поиску выхода из трясины: человек делает пробные шаги в разных направлениях. При неудаче он обычно возвращается в исходную позицию (элементарная 0-эвристика). Реже используется и другая тактика: при неудаче делается лишь еще один шаг (элементарная 1-эвристика). Поскольку в экспериментальных лабиринтах с переменной структурой наблюдается явление инвариантности (при воздействии на вход «черного ящика» значение выхода не меняется), то нахождение оптимума блокируется. Исследования показали, что этот принцип действителен для эволюции любых систем.

 

2.7 Средние Колмогорова

Средние Колмогорова (они  же — средние по Колмогорову) для действительных чисел x₁, … , x_n — величины ряда (*)

 

,

 

где φ — непрерывная строго монотонная функция, а φ^-1 — функция, обратная к φ. При φ(x) = x получают среднее арифметическое, при  φ(x) = log x – среднее геометрическое, при φ(x) = x^-1 — среднее гармоническое, при  φ(x) = x² — среднее квадратическое, при  φ(x) = x^α , α ≠ 0 — среднее степенное.

В 1930 году А.Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина — функция M(x₁, …, x_n), являющаяся:

• непрерывной,
• монотонной по каждому x_i, i = 1, …, n
• симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
• среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
• некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,

— имеет вид ( * ).

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

 

2.8 Колмогоровы теоремы

Колмогоровы теоремы:

1. Теорема о нормированных пространствах (1934);
2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);
3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).

 

2.8.1 Теорема о нормированных  пространствах

Нормированное пространство – векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, x X. Норма индуцирует на Х метрику ρ(x, y) = ||x-y|| и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда

 

||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||² + 2*||y||² для x, y X.

 

Отделимое топологическое векторное  пространство нормируемо, если его  топология совместима с некоторой  нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.