Балансовые модели

      Так как  , то . Следовательно, уравнение (3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение. Действительно, если , то при всех . (**)

      Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть фиксировано. Положим . Если , то . Из (*) и (**) имеем , т. е. ограничена. Аналогично доказывается ограниченность , а вместе с ними и матрицы .

      2) Достаточность. Пусть  при . В силу (*) при всех , что и дает асимптотическую устойчивость.

      Необходимость. Пусть для любых  при . Положим . В силу (*) , следовательно, . Аналогично доказывается, что , , что означает при . Теорема доказана. 

      Применим  теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу , , где — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы при . Отсюда получаем следующую теорему:

      Теорема 2. Линейная однородная система с  постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

      Ниже  рассматриваются необходимые и  достаточные условия отрицательности  корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

      Определение. Полином  , где , , называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

      Если  полином  является полиномом Гурвица, то все .

      Составим -матрицу Гурвица вида

      

      Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином  являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица :

        

      Если  степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

      Определение. Пусть  , где , , . Кривая , называется годографом Михайлова функции .

      Критерий  Михайлова непосредственно следует  из леммы:

      Лемма 2. Угол поворота в положительном  направлении ненулевого вектора  при равен , где — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

      Критерий  Михайлова. Для того чтобы полином  , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора при был бы равен .

      Замечание. Если полином  есть полином Гурвица степени , то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя квадрантов.

      Рассмотрим  уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. , (4)

      где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где — неособая w-периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда постоянна. Учитывая, что , где — мультипликаторы уравнения, получаем следующий результат:

      Теорема 3. Линейная однородная система с  периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

      Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

      

      Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая  ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.

3. Изменение фазового  объема

      Как известно фазовый объем - объем в фазовом пространстве.

4. Одномерное движение  частицы в потенциальном  поле

      Будем рассматривать автономную систему  в векторной форме:  (2)

      где функция f(x) определена в .

      Автономные  системы обладают тем свойством, что если — решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать .

      Пусть — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы . Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют , такие, что . Так как — не положение равновесия, то . Поэтому можно считать, что при . Обозначим и покажем, что — w-периодическая функция.

      Действительно, функция  является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности и совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все , при этом должно выполняться тождество

       ,

      то  есть — периодическая функция с наименьшим периодом.

      Траектория  такого решения является замкнутой  кривой. Из приведенного вытекает следующий  результат: Каждая траектория автономного  уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

      положение равновесия;

      замкнутая траектория, которой соответствует  периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

      траектория  без самопересечения, которой соответствует  непериодическое решение.

      Рассмотрим  автономную линейную однородную систему  (3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

      где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

      1) вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими или . При и

       .

      Картина расположения траекторий при , имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

      2) вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

      3) комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где и — линейно независимые собственные векторы, соответствующие и . Так как А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

      

      где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы  А.

      Введем  полярные координаты , или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

       .

      Следовательно, . При траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2p/b.

      4) . Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

              

      Решением  этой системы будет функция  . В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

      

      Рис. . Поведение траекторий в зависимости  от значений собственных чисел