Балансовые модели

     

  (3)

     Левая часть уравнения (3) есть сумма третьего квадранта, а правая часть — итог второго квадранта. В целом же это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материального и стоимостного состава национального дохода.

2. Экономико-математическая  модель межотраслевого  баланса

     В пункте 1 отмечено, что основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное а_ij. Оно не зависит от объема производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины а_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

     

  (4)

     Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

     С учетом формулы (4) систему уравнений  баланса (2) можно переписать в виде

     

  (5)

     Если  ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции У:

     

     то  система уравнений (5) в матричной  форме примет вид

     

    (6)

     Система уравнений (5), или в матричной  форме (6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты.— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

     • Задав в модели величины валовой  продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_t):

     

  (7)

     • Задав величины конечной продукции  всех отраслей (Y_j), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

     

  (8)

     • Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5). В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е -А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В(Е- А)^-1, тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде

     

  (8)

     Элементы  матрицы В будем обозначать через , тогда из матричного уравнения (8) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

     

  (9)

     Из  соотношений (9) следует, что валовая  продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты , которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат коэффициенты называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

     Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат Ь^ показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

     Коэффициенты  полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как  скажется на валовом выпуске некоторой  отрасли предполагаемое изменение  объемов конечной продукции всех отраслей:

     

  (10)

     где и — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

3. Коэффициенты прямых  и полных материальных  затрат

     Переходя  к анализу модели межотраслевого баланса, необходимо прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: . Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: .

     Система уравнений межотраслевого баланса  является отражением реальных экономических  процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные  значения валовых выпусков; таким  образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: . Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

     Будем называть неотрицательную матрицу  А продуктивной, если существует такой  неотрицательный вектор , что

     

  (11)

     Очевидно, что условие (11) означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса (6).

     Для того чтобы матрица коэффициентов  прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

     1) матрица (Е - А) неотрицательно  обратима, т.е. существует обратная  матрица  ;

     2)  матричный ряд  сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)^-1;

     3)  наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, то есть решение характеристического уравнения

     

     строго  меньше единицы;

     4) все главные миноры матрицы  (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых  строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

     Более простым, но только достаточным признаком  продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов  матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

     Наибольший  по модулю корень характеристического уравнения, приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А (обозначим его через Я.*), может служить оценкой общего уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а следовательно, величина 1-Я.* характеризует остаток после затрат, т.е. продуктивность. Чем больше 1-Я.*, тем больше возможности достижения других целей, кроме текущего производственного потребления. Другими словами, чем выше общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наибольшее по модулю собственное значение Я.* и ниже уровень продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю собственное значение и выше продуктивность.

     Перейдем  к анализу матрицы коэффициентов  полных материальных затрат, т.е. матрицы . Согласно определению 2 коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

     Дадим другое определение коэффициента полных материальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат существуют косвенные затраты той или иной продукции при производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т. д. В связи со сказанным выше имеет место следующее определение.

     Определение 3. Коэффициентом полных материальных затрат называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции i-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства. Если коэффициент косвенных материальных затрат k-го порядка обозначить через то имеет место формула

     

,  (12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  полных материальных затрат и матрицы коэффициентов косвенных материальных  затрат  различных  порядков , то поэлементную формулу (12) можно записать в более общем матричном виде:

     

       (13)

     Исходя  из содержательного смысла коэффициентов  косвенных материальных затрат можно  записать ряд матричных соотношений:

     

с использованием которых матричная формула (13) может  быть переписана в следующем виде:

     

   (14)

     Если  матрица коэффициентов прямых материальных затрат А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:

     

     (15)

     Из  сопоставления соотношений (14) и (15) устанавливается следующая связь между двумя матрицами коэффициентов полных материальных затрат:

     

,

     или, в поэлементной записи:

     

     Данная  связь определяет экономический  смысл различия между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

     Перейдем  теперь к вычислительным аспектам решения  задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана и является продуктивной, то матрицу В можно находить либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в курсе матричной алгебры, либо приближенным способом, используя разложение в матричный ряд (15).

     Рассмотрим  первый способ нахождения матрицы  В. Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют матрицу . Одним из наиболее употребительных методов обращения матриц является метод Жордана. Часто применяется также метод, основанный на применении формулы матричной алгебры