(16)

     где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е -А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е -А)', а в знаменателе — определитель матрицы (Е - А). Алгебраические дополнения в свою очередь для элемента с индексами i и j получаются умножением множителя на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и j-го столбца.

     При втором способе вычисления матрицы  коэффициентов полных материальных затрат используется формула (15). Обязательным условием корректности этих расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков. В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком).

4. Межотраслевые балансовые  модели в анализе  экономических показателей

     Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном   хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью. Рассмотрим применение межотраслевого балансового метода для анализа таких важных экономических показателей, как труд, фонды и цены.

     К числу важнейших аналитических  возможностей данного метода относится  определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и  разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моделью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.

     Обозначим затраты живого труда в производстве j-го продукта через L_j, а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через X_j. Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

     

(17)

     Введем  понятие полных затрат труда как  суммы прямых затрат живого труда  и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные  средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу  продукции j-го вида через T_j, то произведения вида отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу /-го продукта через i-e средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат a_ij выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j-го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны

     Введем  в рассмотрение вектор-строку коэффициентов  прямой трудоемкости и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости .

     Тогда с использованием уже рассматриваемой  выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (в натуральном  выражении) систему уравнений (18) можно  переписать в матричном виде:

     

   (19)

     Произведя очевидные матричные преобразования с использованием единичной матрицы  Е

     

     получим следующее соотношение для вектора  коэффициентов полной трудоемкости:

     

   (20)

     

      (20')

     Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (6.17) будет равна

     

    (21)

     Используя соотношения (21) (8) и (20'), приходим к следующему равенству:

     

      (22)

     здесь t и Т — вектор-строки коэффициентов  прямой и полной трудоемкости, а X и  У — вектор-столбцы валовой  и конечной продукции соответственно.

     Соотношение (6.22) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использовании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда.

     На  основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны  межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования  трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

     Развитие  основной модели межотраслевого баланса достигается также путем включения в нее показателей фондоемкости продукции. В простейшем случае модель дополняется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов Ф_j, занятые в каждой j-й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффициенты прямой фондоемкости продукции j-й отрасли:

     

  (23)

     Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину производственных фондов, непосредственно  занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции. В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости F_j отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j-й отрасли. Если — коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента полной фондоемкости справедливо равенство, аналогичное равенству (18) для коэффициента полной трудоемкости:

     

   (24)

     Если  ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой фондоемкости и вектор-строку коэффициентов полной фондоемкости , то систему уравнений (24) можно переписать в матричной форме:

     

   (25)

     откуда  с помощью преобразований, аналогичных применяемым выше для коэффициентов трудоемкости, можно получить матричное соотношение

     

    (26)

     где — матрица коэффициентов полных материальных затрат.

     Для более глубокого анализа необходимо дифференцировать фонды на основные и оборотные, а в пределах основных — на здания, сооружения, производственное оборудование, транспортные средства и т.д.

     Пусть в целом все производственные фонды разделены на m групп. Тогда характеристика занятых в народном хозяйстве фондов задается матрицей показателей , отражающих объем фондов k-ой группы, занятых в j-й отрасли:

     

     Коэффициенты  прямой фондоемкости также образуют матрицу размерности тхп, элементы которой определяют величину производственных фондов k-й группы, непосредственно используемых при производстве единицы продукции у-й отрасли:

     

     Для каждой j-й отрасли могут быть вычислены коэффициенты полной фондоемкости , отражающие полную потребность в фондах k-й группы для выпуска единицы конечной продукции этой отрасли:

     

     Решение систем данных уравнений позволяет  представить коэффициенты полной фондоемкости по каждой из т групп фондов как  функцию коэффициентов прямой фондоемкости:

     

     В этих формулах величины и — уже известные коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

     Коэффициенты  фондоемкости в межотраслевом балансе  позволяют увязать планируемый выпуск продукции с имеющимися производственными мощностями. Так, потребность в функционирующих фондах k-й группы для достижения заданного объема материального производства X_j по всем отраслям задается формулой:

 

Элементы  качественной теории дифференциальных уравнений

1. Автономные системы.  Общее свойства.

      Автономной  системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

      

      В векторной форме автономная система  имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где

      

      Название  автономная система связано с  тем, что поскольку производная  x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

      Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

      

      Будем полагать, что для рассматриваемых  автономных систем выполнены условия  теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

      Пусть x = φ(t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ(t) , — кривая в пространстве . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

      Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .

      Равенство x = φ(t) , — параметрические уравнения фазовой траектории.

      Интегральная  кривая системы изображается в  (n + 1) –мерном пространстве и может быть определена уравнениями

      

      Cсоответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство

2. Структура решений автономной системы в окрестности не особой точки.

      Пусть  (3)

      — вещественная система, — ее произвольное решение. Замена приводит (3) к виду , т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности тривиального.

      Лемма 1. Пусть  и или , где — неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной . Тогда ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при тогда и только тогда, когда обладает таким свойством.

      Лемма вытекает из оценки .

      Следствие. Пусть  , — нормированная при фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с .

      Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при . 2) Для того чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при .

      Доказательство. 1) Достаточность. Пусть  ограничена на . Решение задается формулой .  (*)