Теоретические основы прогнозирования экономических показателей на рынке розничной торговли

Конструктивная классификация  позволяет наглядно изобразить совокупность методов прогнозирования в виде иерархического дерева и охарактеризовать каждый уровень своим классификационным  признаком.

На первом уровне все методы по признаку «информационное основание  метода» делятся на три класса: фактографические, комбинированные  и экспертные. Фактографические базируются на фактической информации об объекте  прогнозирования и его прошлом  развитии. В экспертных методах используется информация, которую доставляют специалисты-эксперты в процессе систематизированных  процедур выявления и обобщения  их мнений. В свою очередь, классы экспертных и фактографических методов подразделяются на подклассы по методам обработки  информации.

Экспертные методы разделяются  на два подкласса. Прямые экспертные оценки строятся по принципу получения  и обработки независимого обобщенного  мнения коллектива экспертов (или одного из них) при отсутствии воздействия  на мнение каждого эксперта мнения другого эксперта и всего коллектива. Экспертные оценки с обратной связью в том или ином виде реализуют  принцип обратной связи на основе воздействия на оценку экспертной группы (одного эксперта) мнениями, полученными  ранее от этой группы (или от одного из экспертов). Класс фактографических методов объединяет следующие три  подкласса: методы аналогий, опережающие  и статистические методы.

Методы аналогий направлены на выявление  сходства в закономерностях развития различных процессов. К ним относятся  методы математических и исторических аналогий. Методы математических аналогий в качестве аналога для объекта  используют объекты другой физической природы, других областей науки и техники, имеющие математическое описание процесса развития, совпадающие с объектом прогнозирования.

Опережающие методы прогнозирования  основаны на определенных принципах  специальной обработки научно-технической  информации, учитывающих ее свойство опережать прогресс науки и техники. К ним относятся методы исследования динамики научно-технической информации, использующие построение динамических рядов на базе различных видов  такой информации анализа и прогнозирования  на этой основе развития соответствующего объекта (например, метод огибающих). К опережающим методам можно  отнести также методы исследования и оценки уровня техники, основанные на использовании специальных методов  анализа количественной и качественной научно-технической информации для  определения характеристик уровня качества существующей и проектируемой  техники.

Статистические методы представляют собой совокупность методов обработки  количественной информации об объекте  прогнозирования, объединенной по принципу выявления содержащихся в ней  математических закономерностей изменения  характеристик данного объекта  с целью получения прогнозных моделей Таким образом, методы прогнозирования  — это способы, приемы, с помощью  которых обеспечивается разработка и обоснование планов и прогнозов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.Доверительные интервалы прогноза.

Оценка адекватности и точности прогнозной модели.

 

Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция  тенденции 

на  базе  выбранного  уравнения. Прогнозные  значения  исследуемого  показателя  вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя. На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный. Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора  вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров  кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением  отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала  прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

t_aS_y,(1.1).

где n – длина временного ряда;

L – период упреждения;

_{n y +L}– точечный прогноз на момент n + L;

t_а– значение t-статистики Стьюдента;

S_y– средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд может быть описан линейной моделью:=a₀+a₁t.

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра a₀ приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a₁–к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию   можно представить в виде:

=++ ,(1.2).

где – дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t_l– время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t – порядковый номер уровней ряда, t = 1, 2, ..., n;

t  – порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда;  t  = (n + 1).

Тогда доверительный интервал можно  представить в виде:

t_aS_y,(1.3).

Обозначим корень в выражении (1.3) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К* = tK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

S_yK^*,(1.4).

можно получить для полинома второго порядка:

t_aS_y,    (1.5).

 

Дисперсия отклонений фактических  наблюдений от расчетных определяется выражением:

 

,    (1.6).

 

где yt – фактические значения уровней ряда; t

€_yt– расчетные значения уровней ряда;

n – длина временного ряда;

k – число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким  образом, ширина  доверительного  интервала  зависит  от  уровня  значимости,  периода  упреждения,  среднего  квадратического  отклонения  от  тренда  и  степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном  и том же  значении S_y, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.

Доверительные  интервалы  прогнозов,  полученных  с  использованиемпоказательной  модели, определяют  аналогичным  образом. Отличие  состоит в  том, что как при вычислительной параметров кривой, так и при вычислении средней  квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

период наблюдения

Рис 1 Доверительные интервалы  прогноза для линейного тренда.

Значения К* для оценки доверительных  интервалов прогноза на основе линейноготренда  и параболического тренда при  доверительной вероятности 0,9 

(Таблица 1).

 

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы  для ряда кривых,  имеющих  асимптоты,  в  случае,  если  значение  асимптоты  известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1 приведены значения K* в  зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для  линейной модели и параболической модели тренда. Очевидно,что при увеличении длины рядов (n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются. При этом влияние  периода упреждения неодинаково  для различных значений n: чем  больше длина ряда, тем меньшее  влияние оказывает период упреждения L.

 

 

Проверка  адекватности выбранных моделей 

Проверка адекватности выбранных  моделей реальному процессу (в  частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе остаточной компоненты. Остаточная  компонента  получается  после  выделения  из  исследуемого  ряд систематической  составляющей (тренда и периодической  составляющей, если она присутствует во временном ряду).

Предположим, что исходный временной  ряд описывает процесс, не подверженный сезонным  колебаниям,  т.е.  примем  гипотезу  об  аддитивной  модели  ряда, содержащей трендовую и случайную  компоненты.

Тогда ряд остатков будет получен  как отклонения фактических уровней  временного ряда (yt) от расчетных (€_yt):

e_t= y_t - €_yt(2.1).

При использовании кривых роста €_ytвычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято  считать, что модель  адекватна описываемому процессу,  если остаточная последовательность (ряд  остатков) представляет собой случайную  компоненту ряда.

Поэтому  при  оценке «качества» модели  проверяют,  удовлетворяет  ли  остаточная последовательность следующим свойствам:

случайности колебаний уровней  ряда;

соответствию  распределения  остаточной  компоненты  нормальному  закону  с нулевым математическим ожиданием;

независимости значений уровней ряда остатков между собой.

При проверке первого свойства исследователю  полезно провести графический анализ остаточной последовательности, а также  на этом этапе может быть использован  статистический аппарат.

В современных эконометрических пакетах  имеется набор графических средств, позволяющих  судить  о  том,  насколько  распределение  остатков  согласуется  с нормальным распределением.  Например,  полезным  может  оказаться  график гистограммы  остатков  с наложенной  нормальной  плотностью,  позволяющей  исследователю  оценить  симметричность распределения остатков и близость к нормальному закону.

Кроме  графических  средств,  в  современных  пакетах  прикладных  программ  представлены и статистические критерии, позволяющие проводить проверку  гипотезы о нормальности распределения остатков, например, критерий Пирсона и др. Однако на практике  использование  этих  средств  зачастую  затруднено  из-за  небольшой  длины  временных рядов экономических показателей (n < 50).  Поэтому проверка  на  нормальность  может быть произведена приближенно, например, на основе подхода, опирающегося на рассмотрение показателей асимметрии и эксцесса.

Как  известно,  при  нормальном  распределении  показатели  асимметрии  и  эксцесса равны нулю. Так как  мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку  из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии (А)  и  эксцесса (Э),  а  также  оценить  их среднеквадратические ошибки, зависящие от длины ряда n:

 

 

 

 

 

 

 

(2.2).

 

 

 

 

Если  одновременно выполняются следующие  неравенства:

 

 

 

 

 

(2.3).

то  гипотеза о нормальном характере  распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

 

 

 

 

(2.4).

 

 

то  гипотеза о нормальном характере  распределения отвергается.

Другие  случаи  требуют  дополнительной  проверки  с  помощью  более  мощных критериев.

Рассмотрим подробнее последнее  свойство. Если вид функции, описывающей  систематическую составляющую,  выбран неудачно,  то последовательные  значения  ряда  остатков могут  не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между  собой. В этом случае говорят, что  имеет место автокорреляция остатков.

Существует несколько приемов  обнаружения автокорреляции.Наиболее  распространенным является подход, опирающийся  на критерий Дарбина-Уотсона. Тест Дарбина-Уотсона  связан с проверкой гипотезы об отсутствии автокорреляции первого порядка,т.е. автокорреляции между соседними  остаточными членами ряда. При  этом критическая статистика определяется по формуле:

 

                                                                                       (2.5).

 

 

 

 

Можно показать, что величина d приближенно  равна:

d=2(1-r₁),   (2.6).

где r₁ – коэффициент  автокорреляции первого порядка (т.е. парный  коэффициенткореляциимежду двумя последовательностями остатков e₁, e₂, ... ,e_n–1  и e₂, e₃, ... , e_n). 

Из выражения (2.5) видно, что близость значения статистики  d  к нулю означает наличии высокойположительной автокорреляции (коэффициент 1- r  близок к единице); близость значениястатистики  d  к четырем означает наличие высокой отрицательной автокорреляции(коэффициент 1- r  близок к минус единице). Естественно, в случае отсутствия автокорреляции значение статистики  d будет близким к двум (коэффициент 1- r  несильно отличается от нуля).