Оптимальный размер запаса

   Подготовительные  запасы — это часть текущих запасов, которые требуют дополнительной подготовки перед использованием их в производственном или торговом процессе.

   Неликвидные запасы — это неиспользуемые длительное время производственные или товарные запасы.

   Запасы  в пути — запасы находящиеся на момент учета в процессе транспортировки.

   В любой момент времени в системе материально-технического снабжения обычно имеются определенные запасы, движущиеся из одной части этой системы в другую. При больших временных интервалах между моментом выхода товара со склада и моментом его получения заказчиком будет накапливаться большое количество переходных запасов. Например, при среднем уровне спроса на данный товар, равном 200 изделий в неделю, и сроке его поставки заказчику, равном двум неделям, общий объем переходных запасов этого товара составит в среднем 400 изделий.

   Для определения (оценки) среднего количества технологических или переходных товарно-материальных запасов в данной системе материально-технического обеспечения в целом используется следующая формула:

   J= ST, где

   J — общий объем технологических или переходных (находящихся в процессе транспортировки) товарно-материальных запасов;

   S — средняя норма продаж этих запасов на тот или иной период времени;

   Т — среднее время транспортировки. 

Определение оптимального размера  текущего запаса 

    Рассмотрим порядок определения  оптимального размера текущего запаса товара одной номенклатуры. Природа  текущего запаса отражена в его названии: «текущий». Действительно, обеспечивая бесперебойное функционирование торгового или производственного предприятия в периоды между очередными поставками, эта категория запаса как бы «вытекает» со склада, изменяя свое значение при каждом расходе. Говоря о размере текущего запаса, как правило, говорят о его максимальной, средней или минимальной величине. В случае если новая партия расходуемого товара прибывает точно в момент окончания предыдущей, минимальная величина текущего запаса будет равна нулю (не общего, а текущего!), а средняя величина — половине максимальной. Очевидно, что при таком режиме поставок максимальный текущий запас будет равен размеру поставленной партии товара. На рис. 1 показано, как в течение четырех кварталов (ось ОХ) по мере расхода и поставки размер текущего запаса (ось OY) меняется от 1800 до 0 единиц. 

    
Рис. 1. Изменение размера текущего запаса (при равномерном процессе продаж)

   Оптимальным размером текущего запаса будем считать  оптимальное значение его средней  величины (З_{тек. ср}), равное половине заказанной и доставленной партии товара. Таким образом, задача поиска оптимального размера запаса преобразуется в задачу поиска оптимального размера заказываемой партии товара.

   Критерием оптимума является минимум общих  затрат за период, связанных с созданием и содержанием запаса.

   В системах управления запасами используются две категории затрат: затраты удельные и затраты за анализируемый период.

   Затраты удельные представляют собой:

• затраты удельные на создание запасов, то есть затраты на размещение и получение одного заказа, измеряются в рублях и обозначаются символом К;
• затраты удельные на хранение запасов, то есть затраты на хранение единицы запаса в единицу времени, обозначаются символом М и имеют размерность   или 1/год, если запас измеряется в денежных единицах.

   В системах управления запасами в качестве единицы измерения времени при определении удельных затрат на хранение чаще всего принимают год. Таким образом, величина М показывает, какую часть от стоимости единицы продукции составляет стоимость ее хранения в течение года. Например, если закупочная стоимость изделия составляет 600 руб., а М = 0,3×1/год, то это означает, что хранение одного изделия в течение года обходится предприятию в 180 руб.

   Затраты за период представляют собой:

• затраты на размещение и получение всех заказов, сделанных за период (С_зак);
• затраты на хранение среднего запаса в течение периода (С_хран).

   Общие затраты за период обозначим символом С_общ. Затраты за период имеют размерность: руб./период, например руб./год.

   Помимо  затрат удельных и затрат за период система управления запасами характеризуются  также следующими параметрами:

   Q — спрос на товар за период, шт./период;

   Р — закупочная стоимость единицы  товара, руб./шт.;

   S — размер заказываемой партии  товара, шт.;

   З_тек.ср — запас текущий средний, шт.;

   N — количество заказов за период (частота завоза), заказ/период;

   t — промежуток между поставками, год/заказ.

   Целевую функцию можно представить в  следующем виде:

    .

   Неуправляемыми  параметрами в целевой функции  являются:

   К — удельные затраты на создание запаса;

   М — удельные затраты на хранение запаса;

   Q — спрос на товар за анализируемый  период;

   Р — закупочная стоимость единицы  товара;

   Т — продолжительность анализируемого периода.

   Остальные параметры, тесно связанные между  собой, в рамках рассматриваемой задачи являются управляемыми, то есть менеджер может менять их по своему усмотрению, получая те или иные экономические результаты.

   Следует иметь в виду, что задача оптимизации  может быть решена в случае, если выполняются следующие условия:

• новая партия товара доставляется в момент полного расхода текущего запаса;
• потребность в материалах за период (спрос на товар) является величиной известной и постоянной (Q = const);
• удельные затраты на создание запасов известны и постоянны (К = const), то есть затраты на размещение и получение одного заказа не зависят от размера заказа;
• удельные расходы по хранению запаса известны и постоянны (М = const);
• закупочная стоимость товара постоянна и не зависит от размера закупаемой партии (P = const).

   Критерием оптимума, как уже отмечалось, является минимум суммы общих годовых затрат. В связи с этим представим целевую функцию (С_общ) в виде суммы годовых затрат на создание и хранение запасов и найдем такое значение размера заказа (S_опт), при котором общие затраты будут минимальны:

    .

   Для решения задачи найдем зависимости  С_зак и С_хран от S.

   Рассмотрим  зависимость годовых затрат на создание запасов от размера заказа.

   Количество  заказов за год (N) связано со спросом  на товар за соответствующий период (Q) и размером заказа (S) следующим соотношением:

    .

   Годовые затраты, связанные с размещением  и получением заказов, рассчитывают по формуле:

   

   или

    .

   Изменение размера заказа (S) влечет за собой  изменение количества заказов и соответствующее изменение годовых затрат, связанных с размещением и получением заказов (С_зак). График зависимости С_зак от S, имеющей форму гиперболы, представлен на рис. 2.

   Изменение размера заказа вызывает также изменение  средней величины текущего запаса (З_{тек. ср}) и соответствующее изменение годовых затрат на его хранение (С_хран). Например, если в нашем примере заказывать не по 1800 ед. (см. рис. 4), а по 7200 ед., число заказов за год уменьшится с четырех до одного, а средний запас возрастет с 900 до 3600 ед. Соответственно в четыре раза возрастут и годовые затраты на хранение. 

      
Рис. 2. Зависимость годовых затрат, связанных с размещением и получением заказов, от размера заказа

   Расчет  затрат за период на хранение запаса рассчитывают по формуле:

   С_хран = М×Т×З_тек.ср×Р

   Поскольку средняя величина текущего запаса равна  половине заказа, то есть

    ,

   то  можно записать:

   С_хран = М×Т×S/2 ×Р.                                                      

    График зависимости С_хран от S, имеющей, как правило, линейную форму, представлен на рис. 3. 

    
Рис. 3. Зависимость затрат за период, связанных с хранением запасов, от размера заказа

   Как видим, изменение размера заказа влечет за собой изменение годовых  затрат как на создание запаса, так  и на его хранение. Однако характер зависимости каждой из этих статей расходов от размера заказа разный. Суммарные затраты на период на создание запаса при увеличении размера заказа, очевидно, уменьшаются, так как закупки осуществляются более крупными партиями, а следовательно реже. Расходы по хранению за период растут прямо пропорционально размеру заказа.

   Графически  зависимость общих затрат за период, связанных с размещением и получением заказов, а также с хранением запаса, от размера заказа представлена на рис. 3.

      
Рис. 3. Зависимость общих затрат за период, связанных с размещением и получением заказов, а также с хранением запаса, от размера заказа

   Определим размер заказа (S_опт), при котором минимизируются общие затраты:

   

   или

   

   Как видим, в данном уравнении два  управляемых параметра: S — независимая переменная и С_общ — зависимая переменная. Остальные параметры являются постоянными коэффициентами. В упрощенной форме уравнение примет вид:

    ,

   где

   a =,

    .

   Функция суммарных затрат имеет минимум  в точке, в которой ее первая производная  по S равна нулю, а вторая производная  больше нуля. Найдем первую производную  для С_общ.

    ,

    .

   Найдем  значение S, обращающее производную  целевой функции в ноль:

    ,

   откуда

   S_опт=.

   Проверка  показывает, что вторая производная  больше нуля, следовательно, полученное значение S обеспечивает минимум суммарных затрат на создание запаса и его хранение.

   Подставляя  в выражение значения a и b, получим формулу, позволяющую рассчитать оптимальный размер заказа, которая в теории управления запасами известна как формула Уилсона:

   S_опт=

   Формула Уилсона показывает:

• увеличение затрат на размещение и получение одного заказа (К) влечет за собой необходимость увеличения размера единовременного заказа (S) и сокращения общего числа заказов за год при неизменном обороте (Q);
• увеличение затрат на хранение единицы запаса в единицу времени (М) делает целесообразным переход на более частые заказы мелких партий, что позволит снизить средний запас, компенсировав тем самым возрастающую стоимость хранения.

   Оптимальный размер затрат за период T на создание запаса, С_{опт. зак}: