Модель простой регрессии

Так для нашего примера непосредственное влияние фактора x1 на результат Y в уравнении регрессии измеряется βj и составляет -0.227; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:

rx1x2β2 = 0.329 * 0.404 = 0.1332

Сравнительная оценка влияния анализируемых факторов на результативный признак.

5. Сравнительная оценка  влияния анализируемых факторов  на результативный признак производится:

- средним коэффициентом  эластичности, показывающим на сколько  процентов среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора xi на 1% от своего среднего значения;

- β–коэффициенты, показывающие, что, если величина фактора изменится  на одно среднеквадратическое  отклонение Sxi, то значение результативного признака изменится в среднем на β своего среднеквадратического отклонения;

- долю каждого фактора  в общей вариации результативного  признака определяют коэффициенты  раздельной детерминации (отдельного  определения): d2i = ryxiβi.

d21 = -0.14 • (-0.227) = 0.0309

d22 = 0.32 • 0.404 = 0.13

d23 = 0.0325 • (-0.0823) = -0.00268

d24 = -0.19 • (-0.262) = 0.05

d25 = -0.034 • (-0.201) = 0.00684

d26 = -0.26 • (-0.272) = 0.072

При этом должно выполняться равенство:

∑d2i = R2 = 0.29

Множественный коэффициент корреляции (Индекс множественной корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать отрицательные значения, он принимает значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии регрессии, тем меньше остаточная дисперсия и, следовательно, больше величина Ry(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает фактические данные и факторы сильнее влияют на результат. При значении R близком к 0 уравнение регрессии плохо описывает фактические данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

 

Связь между признаком Y факторами X умеренная

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β-коэффициентов.

 

 

Коэффициент детерминации.

R2= 0.5352 = 0.287

5. Проверка гипотез относительно  коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров  множественного уравнения регрессии).

Число v = n - m - 1 называется числом степеней свободы. Считается, что при оценивании множественной линейной регрессии для обеспечения статистической надежности требуется, чтобы число наблюдений, по крайней мере, в 3 раза превосходило число оцениваемых параметров.

1) t-статистика 

Tтабл (n-m-1;α/2) = (79;0.025) = 1.99

 

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b0:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b0 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b1:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b2:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b3:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b3 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b4:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b4 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b5:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b5 подтверждается.

Находим стандартную ошибку коэффициента регрессии b6:

 

 

Статистическая значимость коэффициента регрессии b6 подтверждается.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:

(bi - ti Sbi; bi + ti Sbi)

b0: (569.36 - 1.99 • 17.71 ; 569.36 + 1.99 • 17.71) = (534.12;604.61)

b1: (-1.39 - 1.99 • 0.0315 ; -1.39 + 1.99 • 0.0315) = (-1.45;-1.33)

b2: (27.81 - 1.99 • 0.38 ; 27.81 + 1.99 • 0.38) = (27.06;28.56)

b3: (-20.91 - 1.99 • 1.34 ; -20.91 + 1.99 • 1.34) = (-23.59;-18.23)

b4: (-246.78 - 1.99 • 5.47 ; -246.78 + 1.99 • 5.47) = (-257.68;-235.89)

b5: (-188.75 - 1.99 • 5.36 ; -188.75 + 1.99 • 5.36) = (-199.43;-178.07)

b6: (-153.7 - 1.99 • 2.75 ; -153.7 + 1.99 • 2.75) = (-159.18;-148.22)

6. Проверка общего качества уравнения  множественной регрессии.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности: R2 или b1 = b2 =... = bm = 0 (гипотеза о незначимости уравнения регрессии, рассчитанного по данным генеральной совокупности).

Для ее проверки используют F-критерий Фишера.

При этом вычисляют фактическое (наблюдаемое) значение F-критерия, через коэффициент детерминации R2, рассчитанный по данным конкретного наблюдения.

По таблицам распределения Фишера-Снедоккора находят критическое значение F-критерия (Fкр). Для этого задаются уровнем значимости α (обычно его берут равным 0,05) и двумя числами степеней свободы k1=m и k2=n-m-1.

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

 

Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y.

Более объективной оценкой является скорректированный коэффициент детерминации:

 

 

Добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.

Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H0: R2 = 0; β1 = β2 = ... = βm = 0.

H1: R2 ≠ 0.

Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).

Если F < Fkp  = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.

 

Табличное значение при степенях свободы k1 = 6 и k2 = n-m-1 = 86 - 6 - 1 = 79, Fkp(6;79) = 2.17

Отметим значения на числовой оси.

 

 

Принятие H0	Отклонение H0, принятие H1
95%	5%
2.17	5.29

 

 

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Оценка значимости дополнительного включения фактора (частный F-критерий).

Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличить долю объясненной вариации результативного признака. Это может быть связано с последовательностью вводимых факторов (т. к. существует корреляция между самими факторами).

Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора хj, служит частный F-критерий – Fxj:

 

где m – число оцениваемых параметров.

В числителе - прирост доли вариации у за счет дополнительно включенного в модель фактора хj.

Если наблюдаемое значение Fxj больше Fkp, то дополнительное введение фактора xj в модель статистически оправдано.

Частный F-критерий оценивает значимость коэффициентов «чистой» регрессии (bj). Существует взаимосвязь между частным F-критерием - Fxj и t-критерием, используемым для оценки значимости коэффициента регрессии при j-м факторе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 650 с.
2. Буре В.М.. Евсеев Е.А. Основы эконометрики: Учеб. Пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.— 72 с.
3. Валландер С.С. Заметки по эконометрике. — СПб.: Европ. ун-т ,2001. — 46 с.
4. Доугерти К. Введение в эконометрику: учебник. 2-е изд. М.: ИНФРА-М, 2004.— 432 с.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.— 311 с.
6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2000. — 400 с.
7. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001, с. 49..105.
8. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 344 с.